三角方程三角学高中≈ 1:34

求解 2sin(x)² - sin(x) - 1 = 0

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。答案: x = π/2 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk, x = 11π/6 + 2πk (k 任意整数).

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录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

1. 题目
例题讲解
$2~{\sin\left( x\right)}^{2}-\sin\left( x\right)-1 = 0$
2. 步骤，第1部分
1. $2~{\sin\left( x\right)}^{2}-\sin\left( x\right)-1 = 0$
  从方程出发
2. $f(x) = 2~{\sin\left( x\right)}^{2}-\left(\sin\left( x\right)+1\right) = 0$
  改写为 f(x) = 0
3. 左侧每隔 2π 重复一次，所以求出一个周期内的解
4. $x = \frac{\pi}{2},\ x = \frac{7\pi}{6},\ x = \frac{11\pi}{6}$
  一个周期内的解 [0, 2π)
3. 步骤，第2部分
1. $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$
  加上任意整数个周期
4. 答案
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k,\ x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
x = π/2 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk, x = 11π/6 + 2πk (k any integer)
5. 检验
- x = 1.5707963：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 3.6651914：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 5.7595865：左边 = 0，右边 = 0 ✓

题目. 题目是：2sin(x) 的平方减 sin(x) 减 1 等于 0. 关于 x 的周期方程：它有无穷多个解，每个周期内的一个解对应一个解族。

步骤，第1部分. 从方程出发. 改写为 f(x) 等于 0. 左侧每隔 2派重复一次，所以求出一个周期内的解. f(x 加 2派) 等于 f(x) 对每个 x 都成立，所以每个解都是 [0, 2派) 中的解加上整数个周期。一个周期内的解 [0, 2派).

步骤，第2部分. 加上任意整数个周期.

答案. 所以答案是 x 等于派/2 加 2派k, x 等于 7派/6 加 2派k, x 等于 11派/6 加 2派k (k 任意整数). 每个周期内的解均通过数值方法求得，匹配到精确值并经代入确认；加上整数个周期即可得到所有解。

检验. x 等于 1.5707963：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 3.6651914：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 5.7595865：左边等于 0，右边等于 0，验证成立.