三角方程三角学高中≈ 1:10

求解 tan(3x) = -1

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1. 题目
例题讲解
$\tan\left(3~ x\right) = -1$
2. 步骤，第1部分
1. $\tan\left(3~ x\right) = -1$
  从方程出发
2. $f(x) = \tan\left(3~ x\right)+1 = 0$
  改写为 f(x) = 0
3. 左侧每隔 π/3 重复一次，所以求出一个周期内的解
4. $x = \frac{\pi}{4}$
  一个周期内的解 [0, π/3)
3. 步骤，第2部分
1. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3},\quad k \in \mathbb{Z}$
  加上任意整数个周期
4. 答案
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3},\ k \in \mathbb{Z}$
x = π/4 + πk/3 (k any integer)
5. 检验
- x = 0.78539816：左边 = -1，右边 = -1 ✓

题目. 题目是：tan(3x) 等于负 1. 关于 x 的周期方程：它有无穷多个解，每个周期内的一个解对应一个解族。

步骤，第1部分. 从方程出发. 改写为 f(x) 等于 0. 左侧每隔派/3 重复一次，所以求出一个周期内的解. f(x 加派/3) 等于 f(x) 对每个 x 都成立，所以每个解都是 [0, 派/3) 中的解加上整数个周期。一个周期内的解 [0, 派/3).

步骤，第2部分. 加上任意整数个周期.

答案. 所以答案是 x 等于派/4 加派k/3 (k 任意整数). 每个周期内的解均通过数值方法求得，匹配到精确值并经代入确认；加上整数个周期即可得到所有解。

检验. x 等于 0.78539816：左边等于负 1，右边等于负 1，验证成立.