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高次方程代数高中≈ 1:22

求解 x³ - 27 = 0

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。 答案: x = 3; 复数: -1.5 ± 2.5980762i.

录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

英语视频： 下载 MP4 (0.5 MB) · 字幕 (WebVTT)：中文 · 英语字幕 (WebVTT)

屏幕上的步骤

  1. 1. 题目
    例题讲解
    x3−27=0{ x}^{3}-27 = 0
  2. 2. 步骤，第1部分
    1. x3−27=0{ x}^{3}-27 = 0
      从方程出发
    2. x3−27=0x^{3} - 27 = 0
      把所有项移到一边
    3. x2+3x+9=0x^{2} + 3x + 9 = 0
      用有理根定理检验候选值：x = 3 是一个根
    4. x2+3x+9=0x^{2} + 3x + 9 = 0
      求解剩余的二次方程
  3. 3. 步骤，第2部分
    1. Δ=b2−4ac=32−4⋅1⋅9=−27\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = -27
      计算判别式
    2. Δ < 0，所以没有实数根；两个根是共轭复数
    3. x=−3±−272=−3±33 i2x = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}\,i}{2}
      代入求根公式，其中 √(−1) = i
    4. x=−3±33 i2x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}\,i}{2}
      化简
  4. 4. 步骤，第3部分
    1. x=3x = 3
      汇总实数解
  5. 5. 看图像
    123456-30-20-101020304050x = 3
    每个解都是图像穿过零的位置。
  6. 6. 答案
    x=3x = 3

    x = 3

  7. 7. 检验
    • x = 3：左边 = 0，右边 = 0 ✓

文字稿

题目. 题目是：x 的立方 减 27 等于 0. 关于 x 的 3 次多项式方程。

步骤，第1部分. 从方程出发. 把所有项移到一边. 用有理根定理检验候选值：x 等于 3 是一个根. 用 (x 减 3) 进行综合除法，剩下一个 2 次多项式。 求解剩余的二次方程.

步骤，第2部分. 计算判别式. 德尔塔 小于 0，所以没有实数根；两个根是共轭复数. 代入求根公式，其中 根号 负 1 等于 i. 化简.

步骤，第3部分. 汇总实数解.

看图像. 现在看左边减右边的图像。 它恰好在我们求出的解处穿过零。

答案. 所以答案是 x 等于 3; 复数: 负 1.5 正负 2.5980762i. 3 次多项式按重数计算恰好有 3 个根（其中一些可能是复数）。先求出精确的有理根，其余的根再精确求解或近似计算。

检验. x 等于 3：左边 等于 0，右边 等于 0，验证成立.

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