高次方程代数高中≈ 1:32

求解 x³ - 3x + 1 = 0

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录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

1. 题目
例题讲解
${ x}^{3}-3~ x+1 = 0$
2. 逐步讲解
1. ${ x}^{3}-3~ x+1 = 0$
  从方程出发
2. $x^{3} - 3x + 1 = 0$
  把所有项移到一边
3. 没有更多的有理根；用数值方法近似剩余的 3 个根
4. $x = -1.8793852,\quad x = 0.34729636,\quad x = 1.5320889$
  汇总实数解
3. 看图像
每个解都是图像穿过零的位置。
4. 答案
$x = -1.8793852,\ x = 0.34729636,\ x = 1.5320889$
x = -1.8793852, x = 0.34729636, x = 1.5320889
5. 检验
- x = -1.8793852：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 0.34729636：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 1.5320889：左边 = 0，右边 = 0 ✓

题目. 题目是：x 的立方减 3x 加 1 等于 0. 关于 x 的 3 次多项式方程。

逐步讲解. 从方程出发. 把所有项移到一边. 没有更多的有理根；用数值方法近似剩余的 3 个根. Durand–Kerner 方法同时迭代所有根，直到它们不再变化。汇总实数解.

看图像. 现在看左边减右边的图像。它恰好在我们求出的解处穿过零。

答案. 所以答案是 x 等于负 1.8793852, x 等于 0.34729636, x 等于 1.5320889. 3 次多项式按重数计算恰好有 3 个根（其中一些可能是复数）。先求出精确的有理根，其余的根再精确求解或近似计算。

检验. x 等于负 1.8793852：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 0.34729636：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 1.5320889：左边等于 0，右边等于 0，验证成立.