高次方程代数高中≈ 1:40

求解 x³ - x² - 14x + 24 = 0

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1. 题目
例题讲解
${ x}^{3}-{ x}^{2}-14~ x+24 = 0$
2. 步骤，第1部分
1. ${ x}^{3}-{ x}^{2}-14~ x+24 = 0$
  从方程出发
2. $x^{3} - x^{2} - 14x + 24 = 0$
  把所有项移到一边
3. $x^{2} - 5x + 6 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = -4 是一个根
4. $x - 3 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = 2 是一个根
3. 步骤，第2部分
1. 用有理根定理检验候选值：x = 3 是一个根
2. $x = -4,\quad x = 2,\quad x = 3$
  汇总实数解
4. 看图像
每个解都是图像穿过零的位置。
5. 答案
$x = -4,\ x = 2,\ x = 3$
x = -4, x = 2, x = 3
6. 检验
- x = -4：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 2：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 3：左边 = 0，右边 = 0 ✓

题目. 题目是：x 的立方减 x 的平方减 14x 加 24 等于 0. 关于 x 的 3 次多项式方程。

步骤，第1部分. 从方程出发. 把所有项移到一边. 用有理根定理检验候选值：x 等于负 4 是一个根. 用 (x 加 4) 进行综合除法，剩下一个 2 次多项式。用有理根定理检验候选值：x 等于 2 是一个根. 用 (x 减 2) 进行综合除法，剩下一个 1 次多项式。

步骤，第2部分. 用有理根定理检验候选值：x 等于 3 是一个根. 用 (x 减 3) 进行综合除法，剩下一个 0 次多项式。汇总实数解.

看图像. 现在看左边减右边的图像。它恰好在我们求出的解处穿过零。

答案. 所以答案是 x 等于负 4, x 等于 2, x 等于 3. 3 次多项式按重数计算恰好有 3 个根（其中一些可能是复数）。先求出精确的有理根，其余的根再精确求解或近似计算。

检验. x 等于负 4：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 2：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 3：左边等于 0，右边等于 0，验证成立.