المتجهاتالجبر الخطيالجامعة≈ 0:41

أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨1, 0, 1⟩ و ⟨0, 1, 1⟩

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: u · v = 1, الزاوية ≈ 60°.

السرعةاللغة

الفصول

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

المسألة الأصلية (الإنجليزية): أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨1, 0, 1⟩ و ⟨0, 1, 1⟩

1. المسألة
مثال محلول
أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨1, 0, 1⟩ و ⟨0, 1, 1⟩
2. الخطوات، الجزء 1
1. $(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)$
  اضرب المركبات المتناظرة
2. $u v = 0 + 0 + 1 = 1$
  اجمع حواصل الضرب
3. $|u| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562,\quad |v| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562$
  أوجد الأطوال
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{1}{2} \approx 0.5 \Rightarrow \theta \approx 60° \ (1.0471976\text{ راديان})$
  الزاوية بين المتجهين
3. الخطوات، الجزء 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0.70710678,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \rangle$
  الإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي لـ u على v
4. الإجابة
$u v = 1$
u·v = 1
5. التحقق
- حُسب بدقة؛ والضرب القياسي متماثل، لذا فإن v·u يعطي القيمة نفسها.

المسألة. إليك المسألة: أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨1, 0, 1⟩ و ⟨0, 1, 1⟩. الضرب القياسي لمتجهين من البعد 3.

الخطوات، الجزء 1. اضرب المركبات المتناظرة. اجمع حواصل الضرب. أوجد الأطوال. الزاوية بين المتجهين.

الخطوات، الجزء 2. الإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي لـ u على v.

الإجابة. إذن الإجابة هي u ضرب v يساوي 1, الزاوية تقريبًا 60°. الضرب القياسي موجب، لذا فالزاوية بين المتجهين حادة.

التحقق. حُسب بدقة؛ والضرب القياسي متماثل، لذا فإن v ضرب u يعطي القيمة نفسها.