المتجهاتالجبر الخطيالجامعة≈ 0:39

أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨3, 4⟩ و ⟨-4, 3⟩

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: u · v = 0, الزاوية ≈ 90°.

السرعةاللغة

الفصول

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

المسألة الأصلية (الإنجليزية): أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨3, 4⟩ و ⟨-4, 3⟩

1. المسألة
مثال محلول
أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨3, 4⟩ و ⟨-4, 3⟩
2. الخطوات، الجزء 1
1. $(3)(-4) + (4)(3)$
  اضرب المركبات المتناظرة
2. $u v = -12 + 12 = 0$
  اجمع حواصل الضرب
3. $|u| = \sqrt{25} = 5,\quad |v| = \sqrt{25} = 5$
  أوجد الأطوال
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{0}{25} \approx 0 \Rightarrow \theta \approx 90° \ (1.5707963\text{ راديان})$
  الزاوية بين المتجهين
3. الخطوات، الجزء 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, 0 \rangle$
  الإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي لـ u على v
4. الإجابة
$u v = 0$
u·v = 0
5. التحقق
- حُسب بدقة؛ والضرب القياسي متماثل، لذا فإن v·u يعطي القيمة نفسها.

المسألة. إليك المسألة: أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨3, 4⟩ و ⟨-4, 3⟩. الضرب القياسي لمتجهين من البعد 2.

الخطوات، الجزء 1. اضرب المركبات المتناظرة. اجمع حواصل الضرب. أوجد الأطوال. الزاوية بين المتجهين.

الخطوات، الجزء 2. الإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي لـ u على v.

الإجابة. إذن الإجابة هي u ضرب v يساوي 0, الزاوية تقريبًا 90°. الضرب القياسي 0، لذا فالمتجهان متعامدان.

التحقق. حُسب بدقة؛ والضرب القياسي متماثل، لذا فإن v ضرب u يعطي القيمة نفسها.