المتجهاتالجبر الخطيالجامعة≈ 0:42

أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨2, -1⟩ و ⟨1, 3⟩

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: u · v = -1, الزاوية ≈ 98.130102°.

السرعةاللغة

الفصول

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

المسألة الأصلية (الإنجليزية): أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨2, -1⟩ و ⟨1, 3⟩

1. المسألة
مثال محلول
أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨2, -1⟩ و ⟨1, 3⟩
2. الخطوات، الجزء 1
1. $(2)(1) + (-1)(3)$
  اضرب المركبات المتناظرة
2. $u v = 2 - 3 = -1$
  اجمع حواصل الضرب
3. $|u| = \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2.236067977,\quad |v| = \sqrt{10} = \sqrt{10} \approx 3.16227766$
  أوجد الأطوال
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-1}{7.0710678} \approx -0.14142136 \Rightarrow \theta \approx 98.130102° \ (1.7126934\text{ راديان})$
  الزاوية بين المتجهين
3. الخطوات، الجزء 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.31622777,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \rangle$
  الإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي لـ u على v
4. الإجابة
$u v = -1$
u·v = -1
5. التحقق
- حُسب بدقة؛ والضرب القياسي متماثل، لذا فإن v·u يعطي القيمة نفسها.

المسألة. إليك المسألة: أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨2, سالب 1⟩ و ⟨1, 3⟩. الضرب القياسي لمتجهين من البعد 2.

الخطوات، الجزء 1. اضرب المركبات المتناظرة. اجمع حواصل الضرب. أوجد الأطوال. الزاوية بين المتجهين.

الخطوات، الجزء 2. الإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي لـ u على v.

الإجابة. إذن الإجابة هي u ضرب v يساوي سالب 1, الزاوية تقريبًا 98.130102°. الضرب القياسي سالب، لذا فالزاوية بين المتجهين منفرجة.

التحقق. حُسب بدقة؛ والضرب القياسي متماثل، لذا فإن v ضرب u يعطي القيمة نفسها.