المتجهاتالجبر الخطيالجامعة≈ 0:43

أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨1, 2, 3⟩ و ⟨4, -5, 6⟩

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: u · v = 12, الزاوية ≈ 68.562447°.

السرعةاللغة

الفصول

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

المسألة الأصلية (الإنجليزية): أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨1, 2, 3⟩ و ⟨4, -5, 6⟩

1. المسألة
مثال محلول
أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨1, 2, 3⟩ و ⟨4, -5, 6⟩
2. الخطوات، الجزء 1
1. $(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
  اضرب المركبات المتناظرة
2. $u v = 4 - 10 + 18 = 12$
  اجمع حواصل الضرب
3. $|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
  أوجد الأطوال
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ راديان})$
  الزاوية بين المتجهين
3. الخطوات، الجزء 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$
  الإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي لـ u على v
4. الإجابة
$u v = 12$
u·v = 12
5. التحقق
- حُسب بدقة؛ والضرب القياسي متماثل، لذا فإن v·u يعطي القيمة نفسها.

المسألة. إليك المسألة: أوجد الضرب النقطي والزاوية بين ⟨1, 2, 3⟩ و ⟨4, سالب 5, 6⟩. الضرب القياسي لمتجهين من البعد 3.

الخطوات، الجزء 1. اضرب المركبات المتناظرة. اجمع حواصل الضرب. أوجد الأطوال. الزاوية بين المتجهين.

الخطوات، الجزء 2. الإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي لـ u على v.

الإجابة. إذن الإجابة هي u ضرب v يساوي 12, الزاوية تقريبًا 68.562447°. الضرب القياسي موجب، لذا فالزاوية بين المتجهين حادة.

التحقق. حُسب بدقة؛ والضرب القياسي متماثل، لذا فإن v ضرب u يعطي القيمة نفسها.