Folgen und ReihenAlgebraHochschule≈ 2:45

Berechne die Summe von 1/(2n-1)(2n+1) von n=1 bis ∞

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}$
2. Schritt für Schritt
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}$
  Die Reihe aufschreiben
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} = 0$
  Nullfolgenkriterium
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = \frac{1}{4}$
  Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe
4. Die Summe numerisch schätzen
3. Die Antwort
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} \ \text{konvergiert} \approx 0.5$
limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 0.5 (matches 1/2 to 10+ digits)
4. Probe
- Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ = 0.47619048, S₁₀₀ = 0.49751244, S₁₀₀₀ = 0.49975012, S₁₀₀₀₀ = 0.499975

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Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von 1/(2n minus 1)(2n plus 1) von n gleich 1 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ 1 / (2 n minus 1) (2 n plus 1) (n von 1 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 1, 2, 3, … mit a(n) gleich 1 / (2 n minus 1) (2 n plus 1). Erste Glieder: 0.333333, 0.0666667, 0.0285714, 0.015873, …. Nullfolgenkriterium. lim a(n) gleich 0, daher liefert das Divergenzkriterium keine Entscheidung; die Glieder werden zwar kleiner, aber ein feineres Kriterium ist nötig. Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe. Positive Glieder: Die Glieder schrumpfen ungefähr wie 1/n hoch zwei (geschätzt aus a(2N)/a(N)), also Vergleich mit Σ 1/n hoch zwei: lim a(n) mal n hoch zwei gleich 1 durch 4. Der Grenzwert ist eine positive endliche Zahl, also verhält sich die Reihe genau wie die p-Reihe Σ 1/n hoch zwei, die konvergiert, weil p größer als 1. Die Summe numerisch schätzen. Die Partialsummen S N wurden für mehrere N berechnet und auf N → ∞ extrapoliert (Richardson-Extrapolation; bei alternierenden Gliedern wird zuerst gemittelt). Zwei unabhängige Extrapolationen stimmen besser als 10 hoch minus 10 überein und ergeben S ungefähr 0.5. Eine angezeigte geschlossene Form ist eine numerische Zuordnung, kein Beweis.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe konvergiert (Grenzwertvergleich mit Σ 1/n hoch zwei); Summe ungefähr 0.5 (stimmt überein 1 durch 2 auf 10+ Stellen). Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 0.47619048, S₁₀₀ gleich 0.49751244, S₁₀₀₀ gleich 0.49975012, S₁₀₀₀₀ gleich 0.499975.

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