Folgen und ReihenAlgebraHochschule≈ 3:06

Berechne die Summe von (-1)ⁿ/n von n=1 bis ∞

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1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
  Die Reihe aufschreiben
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  Nullfolgenkriterium
3. Leibniz-Kriterium
4. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe
3. Schritte, Teil 2
1. Absolut oder bedingt?
2. Die Summe numerisch schätzen
4. Die Antwort
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{konvergiert bedingt} \approx -0.6931471806$
alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)
5. Probe
- Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von (minus 1) hoch n/n von n gleich 1 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ (minus 1) hoch n / n (n von 1 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritte, Teil 1. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 1, 2, 3, … mit a(n) gleich (minus 1) hoch n / n. Erste Glieder: minus 1, 0.5, minus 0.333333, 0.25, …. Nullfolgenkriterium. lim |a(n)| gleich 0, daher liefert das Divergenzkriterium keine Entscheidung; die Glieder werden zwar kleiner, aber ein feineres Kriterium ist nötig. Leibniz-Kriterium. Die Vorzeichen wechseln, und die Beträge b(n) gleich 1 / n fallen (geprüft an 310 Indizes bis 10 hoch 6) und gehen gegen 0, also konvergiert die Reihe. Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe. Beträge Σ 1 / n: Die Glieder schrumpfen ungefähr wie 1/n (geschätzt aus a(2N)/a(N)), also Vergleich mit Σ 1/n: lim a(n) mal n gleich 1. Der Grenzwert ist eine positive endliche Zahl, also verhält sich die Reihe genau wie die p-Reihe Σ 1/n, die divergiert, weil p kleiner oder gleich 1.

Schritte, Teil 2. Absolut oder bedingt?. Σ |a(n)| divergiert (Grenzwertkriterium mit Σ 1/n), also konvergiert die Reihe nur bedingt. Die Summe numerisch schätzen. Die Partialsummen S N wurden für mehrere N berechnet und auf N → ∞ extrapoliert (Richardson-Extrapolation; bei alternierenden Gliedern wird zuerst gemittelt). Zwei unabhängige Extrapolationen stimmen besser als 10 hoch minus 10 überein und ergeben S ungefähr minus 0.6931471806. Eine angezeigte geschlossene Form ist eine numerische Zuordnung, kein Beweis.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe konvergiert bedingt (Leibniz-Kriterium); Summe ungefähr minus 0.6931471806 (stimmt überein minus ln(2) auf 10+ Stellen). Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich minus 0.64563492, S₁₀₀ gleich minus 0.68817218, S₁₀₀₀ gleich minus 0.69264743, S₁₀₀₀₀ gleich minus 0.69309718.

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