Folgen und ReihenAlgebraHochschule≈ 1:54

Berechne die Summe von 1/4ⁿ von n=1 bis ∞

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: Die Reihe konvergiert (geometrische Reihe (|r| < 1)); Summe = 1/3.

GeschwindigkeitSprache

Kapitel

Transkript

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.6 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}}$
2. Schritt für Schritt
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}}$
  Die Reihe aufschreiben
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{3}$
  Eine geometrische Reihe erkennen
3. Die Antwort
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}} \ \text{konvergiert} = \frac{1}{3}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/3
4. Probe
- Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ = 0.33333302, S₁₀₀ = 0.33333333, S₁₀₀₀ = 0.33333333, S₁₀₀₀₀ = 0.33333333

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von 1 durch 4 hoch n von n gleich 1 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ 1 durch 4 hoch n (n von 1 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 1, 2, 3, … mit a(n) gleich 1 durch 4 hoch n. Erste Glieder: 0.25, 0.0625, 0.015625, 0.00390625, …. Eine geometrische Reihe erkennen. Jedes Glied ist das vorherige mal r gleich 1 durch 4 (geprüft für die ersten 40 Glieder), mit Anfangsglied a gleich 1 durch 4. Da |r| kleiner als 1, konvergiert die Reihe, und ihre Summe ist a/(1 minus r) gleich 1 durch 3 ungefähr 0.3333333333.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe konvergiert (geometrische Reihe (|r| kleiner als 1)); Summe gleich 1 durch 3. Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 0.33333302, S₁₀₀ gleich 0.33333333, S₁₀₀₀ gleich 0.33333333, S₁₀₀₀₀ gleich 0.33333333.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

Ähnliche Lektionen