Folgen und ReihenAlgebraHochschule≈ 1:37

Berechne die Summe von 1/3ⁿ von n=1 bis ∞

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1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
2. Schritt für Schritt
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
  Die Reihe aufschreiben
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{2}$
  Eine geometrische Reihe erkennen
3. Die Antwort
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}} \ \text{konvergiert} = \frac{1}{2}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/2
4. Probe
- Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ = 0.49999153, S₁₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀₀ = 0.5

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Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von 1 durch 3 hoch n von n gleich 1 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ 1 durch 3 hoch n (n von 1 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 1, 2, 3, … mit a(n) gleich 1 durch 3 hoch n. Erste Glieder: 0.333333, 0.111111, 0.037037, 0.0123457, …. Eine geometrische Reihe erkennen. Jedes Glied ist das vorherige mal r gleich 1 durch 3 (geprüft für die ersten 40 Glieder), mit Anfangsglied a gleich 1 durch 3. Da |r| kleiner als 1, konvergiert die Reihe, und ihre Summe ist a/(1 minus r) gleich 1 durch 2 ungefähr 0.5.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe konvergiert (geometrische Reihe (|r| kleiner als 1)); Summe gleich 1 durch 2. Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 0.49999153, S₁₀₀ gleich 0.5, S₁₀₀₀ gleich 0.5, S₁₀₀₀₀ gleich 0.5.

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