Folgen und ReihenAlgebraHochschule≈ 1:59

Berechne die Summe von 1/√(n) von n=1 bis ∞

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
2. Schritt für Schritt
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
  Die Reihe aufschreiben
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$
  Nullfolgenkriterium
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \infty$
  Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe
3. Die Antwort
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ \text{divergiert}$
comparison with Σ 1/n ⇒ diverges
4. Probe
- Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ = 5.0209979, S₁₀₀ = 18.589604, S₁₀₀₀ = 61.801009, S₁₀₀₀₀ = 198.54465

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von 1/sqrt(n) von n gleich 1 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ 1 / sqrt(n) (n von 1 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 1, 2, 3, … mit a(n) gleich 1 / sqrt(n). Erste Glieder: 1, 0.707107, 0.57735, 0.5, …. Nullfolgenkriterium. lim a(n) gleich 0, daher liefert das Divergenzkriterium keine Entscheidung; die Glieder werden zwar kleiner, aber ein feineres Kriterium ist nötig. Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe. Positive Terme: vergleiche stattdessen mit Σ 1/n: lim a(n) mal n gleich ∞. Der Grenzwert ist ∞, also sind die Terme schließlich größer als 1/n; diese p-Reihe divergiert (p kleiner oder gleich 1), also tut diese es auch.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe divergiert (Vergleich mit Σ 1/n). Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 5.0209979, S₁₀₀ gleich 18.589604, S₁₀₀₀ gleich 61.801009, S₁₀₀₀₀ gleich 198.54465.

Schritte auf dem Bildschirm

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