Berechne die Summe von 1/n! von n=0 bis unendlich

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von 1/n! von n gleich 0 bis unendlich. Entscheide, ob Σ 1 / n! (n von 0 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 0, 1, 2, … mit a(n) gleich 1 / n!. Erste Glieder: 1, 1, 0.5, 0.166667, …. Nullfolgenkriterium. lim a(n) gleich 0, daher liefert das Divergenzkriterium keine Entscheidung; die Glieder werden zwar kleiner, aber ein feineres Kriterium ist nötig. Quotientenkriterium. Positive Glieder: a(n plus 1)/a(n) vereinfacht sich zu 1 / (n plus 1), und der Grenzwert für n → ∞ ist L gleich 0. L kleiner als 1, also konvergiert die Reihe (absolut). Die Summe numerisch schätzen. Die Partialsummen S N wurden für mehrere N berechnet und auf N → ∞ extrapoliert (Richardson-Extrapolation; bei alternierenden Gliedern wird zuerst gemittelt). Zwei unabhängige Extrapolationen stimmen besser als 10 hoch minus 10 überein und ergeben S ungefähr 2.718281828. Eine angezeigte geschlossene Form ist eine numerische Zuordnung, kein Beweis.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe konvergiert (Quotientenkriterium); Summe ungefähr 2.718281828 (stimmt überein e auf 10+ Stellen). Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 2.7182815, S₁₀₀ gleich 2.7182818, S₁₀₀₀ gleich 2.7182818, S₁₀₀₀₀ gleich 2.7182818.