Berechne die Summe von 1/(n(n+1)) von n=1 bis ∞

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von 1/(n(n plus 1)) von n gleich 1 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ 1 / (n(n plus 1)) (n von 1 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 1, 2, 3, … mit a(n) gleich 1 / (n(n plus 1)). Erste Terme: 0.5, 0.166667, 0.0833333, 0.05, …. Nullfolgenkriterium. lim a(n) gleich 0, daher liefert das Divergenzkriterium keine Entscheidung; die Glieder werden zwar kleiner, aber ein feineres Kriterium ist nötig. Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe. Positive Glieder: Die Glieder schrumpfen ungefähr wie 1/n hoch zwei (geschätzt aus a(2N)/a(N)), also Vergleich mit Σ 1/n hoch zwei: lim a(n) mal n hoch zwei gleich 1. Der Grenzwert ist eine positive endliche Zahl, also verhält sich die Reihe genau wie die p-Reihe Σ 1/n hoch zwei, die konvergiert, weil p größer als 1. Die Summe numerisch schätzen. Die Partialsummen S N wurden für mehrere N berechnet und auf N → ∞ extrapoliert (Richardson-Extrapolation; bei alternierenden Gliedern wird zuerst gemittelt). Zwei unabhängige Extrapolationen stimmen besser als 10 hoch minus 10 überein und ergeben S ungefähr 1. Eine angezeigte geschlossene Form ist eine numerische Zuordnung, kein Beweis.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe konvergiert (Grenzwertvergleich mit Σ 1/n hoch zwei); Summe ungefähr 1 (stimmt überein 1 auf 10+ Stellen). Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 0.90909091, S₁₀₀ gleich 0.99009901, S₁₀₀₀ gleich 0.999001, S₁₀₀₀₀ gleich 0.99990001.