Ausmultiplizieren und FaktorisierenAlgebraOberstufe≈ 1:11

Faktorisiere x³ + 27

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$x^{3} + 27$
2. Schritte, Teil 1
1. $x^{3} + 27$
  Das Polynom in geordneter Normalform schreiben
2. Ein besonderes Muster erkennen
3. Den Satz über rationale Nullstellen anwenden
4. $x^{3} + 27 = (x + 3)\left(x^{2} - 3x + 9\right)$
  Durch (x + 3) teilen, mit dem Horner-Schema bei x = -3
3. Schritte, Teil 2
1. Den verbleibenden quadratischen Faktor prüfen
2. $(x + 3)(x^{2} - 3x + 9)$
  Die vollständige Faktorisierung schreiben
4. Die Antwort
$(x + 3)(x^{2} - 3x + 9)$
x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)
5. Probe
- Ausmultiplizieren von (x + 3)(x^2 - 3x + 9) ergibt wieder x^3 + 27.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch drei plus 27. Ein Polynom über den rationalen Zahlen faktorisieren.

Schritte, Teil 1. Das Polynom in geordneter Normalform schreiben. Ein besonderes Muster erkennen. Der verbleibende Faktor ist eine Summe von Kuben: a hoch drei plus b hoch drei gleich (a plus b)(a hoch zwei minus ab plus b hoch zwei). Den Satz über rationale Nullstellen anwenden. Jede rationale Nullstelle p/q hat p als Teiler des konstanten Terms 27 und q als Teiler des Leitkoeffizienten 1. Das Testen dieser Kandidaten ergibt die Nullstelle minus 3. Durch (x plus 3) teilen, mit dem Horner-Schema bei x gleich minus 3.

Schritte, Teil 2. Den verbleibenden quadratischen Faktor prüfen. Seine Diskriminante ist minus 27, also negativ, deshalb ist er über den rationalen Zahlen irreduzibel. Die vollständige Faktorisierung schreiben.

Die Antwort. Die Antwort lautet also (x plus 3)(x hoch zwei minus 3x plus 9). x hoch drei plus 27 zerfällt über den rationalen Zahlen vollständig in (x plus 3)(x hoch zwei minus 3x plus 9).

Probe. Ausmultiplizieren von (x plus 3)(x hoch zwei minus 3x plus 9) ergibt wieder x hoch drei plus 27.

Schritte auf dem Bildschirm

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