Ausmultiplizieren und FaktorisierenAlgebraOberstufe≈ 1:16

Faktorisiere x⁴ - 16

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$x^{4} - 16$
2. Schritte, Teil 1
1. $x^{4} - 16$
  Das Polynom in geordneter Normalform schreiben
2. Ein besonderes Muster erkennen
3. Den Satz über rationale Nullstellen anwenden
4. $x^{4} - 16 = (x + 2)\left(x^{3} - 2x^{2} + 4x - 8\right)$
  Durch (x + 2) teilen, mit dem Horner-Schema bei x = -2
3. Schritte, Teil 2
1. $x^{3} - 2x^{2} + 4x - 8 = (x - 2)\left(x^{2} + 4\right)$
  Durch (x - 2) teilen, mit dem Horner-Schema bei x = 2
2. Den verbleibenden quadratischen Faktor prüfen
3. $(x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4)$
  Die vollständige Faktorisierung schreiben
4. Die Antwort
$(x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4)$
x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
5. Probe
- Ausmultiplizieren von (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) ergibt wieder x^4 - 16.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch 4 minus 16. Ein Polynom über den rationalen Zahlen faktorisieren.

Schritte, Teil 1. Das Polynom in geordneter Normalform schreiben. Ein besonderes Muster erkennen. Der verbleibende Faktor ist eine Differenz von Quadraten: a hoch zwei minus b hoch zwei gleich (a minus b)(a plus b). Den Satz über rationale Nullstellen anwenden. Für jede rationale Nullstelle p/q teilt p das Absolutglied minus 16 und q den Leitkoeffizienten 1. Das Testen dieser Kandidaten liefert die Nullstellen minus 2, 2. Durch (x plus 2) teilen, mit dem Horner-Schema bei x gleich minus 2.

Schritte, Teil 2. Durch (x minus 2) teilen, mit dem Horner-Schema bei x gleich 2. Den verbleibenden quadratischen Faktor prüfen. Seine Diskriminante ist minus 16, also negativ, deshalb ist er über den rationalen Zahlen irreduzibel. Die vollständige Faktorisierung schreiben.

Die Antwort. Die Antwort lautet also (x minus 2)(x plus 2)(x hoch zwei plus 4). x hoch 4 minus 16 zerfällt über den rationalen Zahlen vollständig in (x minus 2)(x plus 2)(x hoch zwei plus 4).

Probe. Ausmultiplizieren von (x minus 2)(x plus 2)(x hoch zwei plus 4) ergibt wieder x hoch 4 minus 16.

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