Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 1:41

Bestimme arcsin(1/2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x = 1/2

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: arcsin(1/2) = 30° (π/6); Lösungen in [0°, 360°): 30°, 150°; allgemein: x = 30° + 360°n oder x = 150° + 360°n.

GeschwindigkeitSprache

Kapitel

Transkript

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme arcsin(1/2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x = 1/2

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.7 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme arcsin(1/2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x = 1/2
2. Schritt für Schritt
1. $\operatorname{arcsin}\left(1/2\right) = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$
  Hauptwert des Arcussinus, im Bereich [−π/2, π/2]
2. $\sin(180^\circ - x) = \sin x$
  Der Sinus ist auch im zweiten Quadranten positiv oder negativ, also verwende x und 180° − x
3. $x = 30^\circ,\ 150^\circ \quad (\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6})$
  Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° ≤ x < 360°
4. $x = 30^\circ + 360^\circ n \ \text{oder}\ x = 150^\circ + 360^\circ n$
  Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl
3. Die Antwort
$\operatorname{arcsin}\left(1/2\right) = 30^\circ = \frac{\pi}{6},\quad x = 30^\circ + 360^\circ n \ \text{oder}\ x = 150^\circ + 360^\circ n$
arcsin(1/2) = 30°
4. Probe
- Jede Lösung zurück einsetzen: sin(30°) ≈ 0.5; sin(150°) ≈ 0.5.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme arcsin(1 durch 2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x gleich 1 durch 2. Bestimme den Winkel, dessen Sinus 1 durch 2 ist: der Hauptwert des Arcussinus, jede Lösung von sin(x) gleich 1 durch 2 innerhalb einer Umdrehung und die allgemeine Lösung.

Schritt für Schritt. Hauptwert des Arcussinus, im Bereich [−pi/2, pi/2]. 30° ist ein besonderer Winkel, daher ist das Ergebnis exakt. Der Sinus ist auch im zweiten Quadranten positiv oder negativ, also verwende x und 180° minus x. Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° kleiner oder gleich x kleiner als 360°. Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl.

Die Antwort. Die Antwort lautet also arcsin(1 durch 2) gleich 30° (pi/6); Lösungen in [0°, 360°): 30°, 150°; allgemein: x gleich 30° plus 360°n oder x gleich 150° plus 360°n. Eine inverse trigonometrische Funktion liefert einen Winkel, den Hauptwert. Da sich die trigonometrischen Funktionen wiederholen, hat die Gleichung sin(x) gleich 1 durch 2 unendlich viele Lösungen; der Taschenrechner listet diejenigen innerhalb einer Umdrehung und das allgemeine Muster auf.

Probe. Jede Lösung zurück einsetzen: sin(30°) ungefähr 0.5; sin(150°) ungefähr 0.5.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

Ähnliche Lektionen