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Aufgabe lösen
Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 1:51

Bestimme arctan(√3) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit tan x = √3

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: arctan(√3) = π/3 (60°); Lösungen in [0°, 360°): π/3, 4π/3; allgemein: x = 60° + 180°n.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme arctan(√3) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit tan x = √3

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.7 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme arctan(√3) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit tan x = √3
  2. 2. Schritt für Schritt
    1. arctan⁡(3)=60∘=π3\operatorname{arctan}\left(\sqrt{3}\right) = 60^\circ = \frac{\pi}{3}
      Hauptwert des Arcustangens, im Bereich (−π/2, π/2)
    2. tan⁡(x+180∘)=tan⁡x\tan(x + 180^\circ) = \tan x
      tan wiederholt sich alle 180°, also Vielfache von 180° addieren
    3. x=60∘, 240∘(π3, 4π3)x = 60^\circ,\ 240^\circ \quad (\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3})
      Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° ≤ x < 360°
    4. x=60∘+180∘nx = 60^\circ + 180^\circ n
      Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl
  3. 3. Die Antwort
    arctan⁡(3)=60∘=π3,x=60∘+180∘n\operatorname{arctan}\left(\sqrt{3}\right) = 60^\circ = \frac{\pi}{3},\quad x = 60^\circ + 180^\circ n

    arctan(√3) = 60°

  4. 4. Probe
    • Jede Lösung zurück einsetzen: tan(60°) ≈ 1.732050808; tan(240°) ≈ 1.732050808.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme arctan(die Wurzel aus 3 und jeden Winkel in [0°, 360°) mit tan x gleich die Wurzel aus 3. Bestimme den Winkel, dessen Tangens die Wurzel aus 3 ist: der Hauptwert des Arcustangens, jede Lösung von tan(x) gleich die Wurzel aus 3 innerhalb einer Umdrehung und die allgemeine Lösung.

Schritt für Schritt. Hauptwert des Arcustangens, im Bereich (−pi/2, pi/2). 60° ist ein besonderer Winkel, daher ist das Ergebnis exakt. tan wiederholt sich alle 180°, also Vielfache von 180° addieren. Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° kleiner oder gleich x kleiner als 360°. Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl.

Die Antwort. Die Antwort lautet also arctan(die Wurzel aus 3 gleich pi/3 (60°); Lösungen in [0°, 360°): pi/3, 4pi/3; allgemein: x gleich 60° plus 180°n. Eine inverse trigonometrische Funktion liefert einen Winkel, den Hauptwert. Da sich die trigonometrischen Funktionen wiederholen, hat die Gleichung tan(x) gleich die Wurzel aus 3 unendlich viele Lösungen; der Taschenrechner listet diejenigen innerhalb einer Umdrehung und das allgemeine Muster auf.

Probe. Jede Lösung zurück einsetzen: tan(60°) ungefähr 1.732050808; tan(240°) ungefähr 1.732050808.

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