Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 2:10

Bestimme arccos(0.25) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit cos x = 0.25

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme arccos(0.25) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit cos x = 0.25

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme arccos(0.25) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit cos x = 0.25
2. Schritt für Schritt
1. $\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ = 1.318116072\text{ rad}$
  Hauptwert des Arcuskosinus, im Bereich [0, π]
2. $\cos(-x) = \cos x$
  Der Kosinus ist eine gerade Funktion, daher liefern x und −x (das heißt 360° − x)) denselben Wert
3. $x = 75.52248781^\circ,\ 284.4775122^\circ \quad (1.318116072,\ 4.965069236)$
  Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° ≤ x < 360°
4. $x = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n$
  Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl
3. Die Antwort
$\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ \approx 1.318116072,\quad x = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n$
arccos(0.25) = 75.52248781°
4. Probe
- Jede Lösung zurück einsetzen: cos(75.52248781°) ≈ 0.25; cos(284.4775122°) ≈ 0.25.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme arccos(0.25) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit cos x gleich 0.25. Bestimme den Winkel, dessen Kosinus 0.25 ist: der Hauptwert des Arcuskosinus, jede Lösung von cos(x) gleich 0.25 innerhalb einer Umdrehung und die allgemeine Lösung.

Schritt für Schritt. Hauptwert des Arcuskosinus, im Bereich [0, pi]. Der Wert ist keiner der üblichen exakten Werte, daher wird der Winkel als Dezimalzahl angegeben. Der Kosinus ist eine gerade Funktion, daher liefern x und minus x (das heißt 360° minus x)) denselben Wert. Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° kleiner oder gleich x kleiner als 360°. Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl.

Die Antwort. Die Antwort lautet also arccos(0.25) gleich 75.52248781° (1.318116072 rad); Lösungen in [0°, 360°): 75.52248781°, 284.4775122°; allgemein: x gleich plus minus 75.52248781° plus 360°n. Eine inverse trigonometrische Funktion liefert einen Winkel, den Hauptwert. Da sich die trigonometrischen Funktionen wiederholen, hat die Gleichung cos(x) gleich 0.25 unendlich viele Lösungen; der Taschenrechner listet diejenigen innerhalb einer Umdrehung und das allgemeine Muster auf.

Probe. Jede Lösung zurück einsetzen: cos(75.52248781°) ungefähr 0.25; cos(284.4775122°) ungefähr 0.25.

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