Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 2:12

Bestimme arcsin(0.3) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x = 0.3

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme arcsin(0.3) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x = 0.3

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme arcsin(0.3) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x = 0.3
2. Schritt für Schritt
1. $\operatorname{arcsin}\left(0.3\right) = 17.45760312^\circ = 0.304692654\text{ rad}$
  Hauptwert des Arcussinus, im Bereich [−π/2, π/2]
2. $\sin(180^\circ - x) = \sin x$
  Der Sinus ist auch im zweiten Quadranten positiv oder negativ, also verwende x und 180° − x
3. $x = 17.45760312^\circ,\ 162.5423969^\circ \quad (0.304692654,\ 2.8369)$
  Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° ≤ x < 360°
4. $x = 17.45760312^\circ + 360^\circ n \ \text{oder}\ x = 162.5423969^\circ + 360^\circ n$
  Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl
3. Die Antwort
$\operatorname{arcsin}\left(0.3\right) = 17.45760312^\circ \approx 0.304692654,\quad x = 17.45760312^\circ + 360^\circ n \ \text{oder}\ x = 162.5423969^\circ + 360^\circ n$
arcsin(0.3) = 17.45760312°
4. Probe
- Jede Lösung zurück einsetzen: sin(17.45760312°) ≈ 0.3; sin(162.5423969°) ≈ 0.3.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme arcsin(0.3) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x gleich 0.3. Bestimme den Winkel, dessen Sinus 0.3 ist: der Hauptwert des Arcussinus, jede Lösung von sin(x) gleich 0.3 innerhalb einer Umdrehung und die allgemeine Lösung.

Schritt für Schritt. Hauptwert des Arcussinus, im Bereich [−pi/2, pi/2]. Der Wert ist keiner der üblichen exakten Werte, daher wird der Winkel als Dezimalzahl angegeben. Der Sinus ist auch im zweiten Quadranten positiv oder negativ, also verwende x und 180° minus x. Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° kleiner oder gleich x kleiner als 360°. Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl.

Die Antwort. Die Antwort lautet also arcsin(0.3) gleich 17.45760312° (0.304692654 rad); Lösungen in [0°, 360°): 17.45760312°, 162.5423969°; allgemein: x gleich 17.45760312° plus 360°n oder x gleich 162.5423969° plus 360°n. Eine inverse trigonometrische Funktion liefert einen Winkel, den Hauptwert. Da sich die trigonometrischen Funktionen wiederholen, hat die Gleichung sin(x) gleich 0.3 unendlich viele Lösungen; der Taschenrechner listet diejenigen innerhalb einer Umdrehung und das allgemeine Muster auf.

Probe. Jede Lösung zurück einsetzen: sin(17.45760312°) ungefähr 0.3; sin(162.5423969°) ungefähr 0.3.

Schritte auf dem Bildschirm

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