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Aufgabe lösen
Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 2:09

Bestimme arcsin(-√2/2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x = -√2/2

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: arcsin(-√2/2) = -45° (-π/4); Lösungen in [0°, 360°): 225°, 315°; allgemein: x = -45° + 360°n oder x = 225° + 360°n.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme arcsin(-√2/2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x = -√2/2

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.8 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme arcsin(-√2/2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x = -√2/2
  2. 2. Schritt für Schritt
    1. arcsin⁡(−2/2)=−45∘=−π4\operatorname{arcsin}\left(-\sqrt{2}/2\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}
      Hauptwert des Arcussinus, im Bereich [−π/2, π/2]
    2. sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x
      Der Sinus ist auch im zweiten Quadranten positiv oder negativ, also verwende x und 180° − x
    3. x=225∘, 315∘(5π4, 7π4)x = 225^\circ,\ 315^\circ \quad (\frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4})
      Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° ≤ x < 360°
    4. x=−45∘+360∘n oder x=225∘+360∘nx = -45^\circ + 360^\circ n \ \text{oder}\ x = 225^\circ + 360^\circ n
      Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl
  3. 3. Die Antwort
    arcsin⁡(−2/2)=−45∘=−π4,x=−45∘+360∘n oder x=225∘+360∘n\operatorname{arcsin}\left(-\sqrt{2}/2\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4},\quad x = -45^\circ + 360^\circ n \ \text{oder}\ x = 225^\circ + 360^\circ n

    arcsin(-√2/2) = -45°

  4. 4. Probe
    • Jede Lösung zurück einsetzen: sin(225°) ≈ -0.7071067812; sin(315°) ≈ -0.7071067812.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme arcsin(minus die Wurzel aus 2 durch 2 und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sin x gleich minus die Wurzel aus 2 durch 2. Bestimme den Winkel, dessen Sinus minus die Wurzel aus 2 durch 2 ist: der Hauptwert des Arcussinus, jede Lösung von sin(x) gleich minus die Wurzel aus 2 durch 2 innerhalb einer Umdrehung und die allgemeine Lösung.

Schritt für Schritt. Hauptwert des Arcussinus, im Bereich [−pi/2, pi/2]. minus 45° ist ein besonderer Winkel, daher ist das Ergebnis exakt. Der Sinus ist auch im zweiten Quadranten positiv oder negativ, also verwende x und 180° minus x. Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° kleiner oder gleich x kleiner als 360°. Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl.

Die Antwort. Die Antwort lautet also arcsin(minus die Wurzel aus 2 durch 2 gleich minus 45° (-pi/4); Lösungen in [0°, 360°): 225°, 315°; allgemein: x gleich minus 45° plus 360°n oder x gleich 225° plus 360°n. Eine inverse trigonometrische Funktion liefert einen Winkel, den Hauptwert. Da sich die trigonometrischen Funktionen wiederholen, hat die Gleichung sin(x) gleich minus die Wurzel aus 2 durch 2 unendlich viele Lösungen; der Taschenrechner listet diejenigen innerhalb einer Umdrehung und das allgemeine Muster auf.

Probe. Jede Lösung zurück einsetzen: sin(225°) ungefähr minus 0.7071067812; sin(315°) ungefähr minus 0.7071067812.

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