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Aufgabe lösen
Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 1:38

Bestimme arctan(-1) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit tan x = -1

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: arctan(-1) = -45° (-π/4); Lösungen in [0°, 360°): 135°, 315°; allgemein: x = -45° + 180°n.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme arctan(-1) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit tan x = -1

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.6 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme arctan(-1) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit tan x = -1
  2. 2. Schritt für Schritt
    1. arctan⁡(−1)=−45∘=−π4\operatorname{arctan}\left(-1\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}
      Hauptwert des Arcustangens, im Bereich (−π/2, π/2)
    2. tan⁡(x+180∘)=tan⁡x\tan(x + 180^\circ) = \tan x
      tan wiederholt sich alle 180°, also Vielfache von 180° addieren
    3. x=135∘, 315∘(3π4, 7π4)x = 135^\circ,\ 315^\circ \quad (\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4})
      Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° ≤ x < 360°
    4. x=−45∘+180∘nx = -45^\circ + 180^\circ n
      Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl
  3. 3. Die Antwort
    arctan⁡(−1)=−45∘=−π4,x=−45∘+180∘n\operatorname{arctan}\left(-1\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4},\quad x = -45^\circ + 180^\circ n

    arctan(-1) = -45°

  4. 4. Probe
    • Jede Lösung zurück einsetzen: tan(135°) ≈ -1; tan(315°) ≈ -1.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme arctan(minus 1) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit tan x gleich minus 1. Bestimme den Winkel, dessen Tangens minus 1 ist: der Hauptwert des Arcustangens, jede Lösung von tan(x) gleich minus 1 innerhalb einer Umdrehung und die allgemeine Lösung.

Schritt für Schritt. Hauptwert des Arcustangens, im Bereich (−pi/2, pi/2). minus 45° ist ein besonderer Winkel, daher ist das Ergebnis exakt. tan wiederholt sich alle 180°, also Vielfache von 180° addieren. Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° kleiner oder gleich x kleiner als 360°. Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl.

Die Antwort. Die Antwort lautet also arctan(minus 1) gleich minus 45° (-pi/4); Lösungen in [0°, 360°): 135°, 315°; allgemein: x gleich minus 45° plus 180°n. Eine inverse trigonometrische Funktion liefert einen Winkel, den Hauptwert. Da sich die trigonometrischen Funktionen wiederholen, hat die Gleichung tan(x) gleich minus 1 unendlich viele Lösungen; der Taschenrechner listet diejenigen innerhalb einer Umdrehung und das allgemeine Muster auf.

Probe. Jede Lösung zurück einsetzen: tan(135°) ungefähr minus 1; tan(315°) ungefähr minus 1.

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