Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 2:06

Bestimme arccos(-√3/2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit cos x = -√3/2

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme arccos(-√3/2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit cos x = -√3/2

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme arccos(-√3/2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit cos x = -√3/2
2. Schritt für Schritt
1. $\operatorname{arccos}\left(-\sqrt{3}/2\right) = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$
  Hauptwert des Arcuskosinus, im Bereich [0, π]
2. $\cos(-x) = \cos x$
  Der Kosinus ist eine gerade Funktion, daher liefern x und −x (das heißt 360° − x)) denselben Wert
3. $x = 150^\circ,\ 210^\circ \quad (\frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6})$
  Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° ≤ x < 360°
4. $x = \pm 150^\circ + 360^\circ n$
  Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl
3. Die Antwort
$\operatorname{arccos}\left(-\sqrt{3}/2\right) = 150^\circ = \frac{5\pi}{6},\quad x = \pm 150^\circ + 360^\circ n$
arccos(-√3/2) = 150°
4. Probe
- Jede Lösung zurück einsetzen: cos(150°) ≈ -0.8660254038; cos(210°) ≈ -0.8660254038.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme arccos(minus die Wurzel aus 3 durch 2 und jeden Winkel in [0°, 360°) mit cos x gleich minus die Wurzel aus 3 durch 2. Bestimme den Winkel, dessen Kosinus minus die Wurzel aus 3 durch 2 ist: der Hauptwert des Arcuskosinus, jede Lösung von cos(x) gleich minus die Wurzel aus 3 durch 2 innerhalb einer Umdrehung und die allgemeine Lösung.

Schritt für Schritt. Hauptwert des Arcuskosinus, im Bereich [0, pi]. 150° ist ein besonderer Winkel, daher ist das Ergebnis exakt. Der Kosinus ist eine gerade Funktion, daher liefern x und minus x (das heißt 360° minus x)) denselben Wert. Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° kleiner oder gleich x kleiner als 360°. Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl.

Die Antwort. Die Antwort lautet also arccos(minus die Wurzel aus 3 durch 2 gleich 150° (5pi/6); Lösungen in [0°, 360°): 150°, 210°; allgemein: x gleich plus minus 150° plus 360°n. Eine inverse trigonometrische Funktion liefert einen Winkel, den Hauptwert. Da sich die trigonometrischen Funktionen wiederholen, hat die Gleichung cos(x) gleich minus die Wurzel aus 3 durch 2 unendlich viele Lösungen; der Taschenrechner listet diejenigen innerhalb einer Umdrehung und das allgemeine Muster auf.

Probe. Jede Lösung zurück einsetzen: cos(150°) ungefähr minus 0.8660254038; cos(210°) ungefähr minus 0.8660254038.

Schritte auf dem Bildschirm

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