Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 1:43

Bestimme arcsec(-2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sec x = -2

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: arcsec(-2) = 120° (2π/3); Lösungen in [0°, 360°): 120°, 240°; allgemein: x = ±120° + 360°n.

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme arcsec(-2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sec x = -2

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme arcsec(-2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sec x = -2
2. Schritte, Teil 1
1. $\sec x = -2 \iff \cos x = \frac{1}{-2} \approx -0.5$
  sec als Kehrwert umschreiben
2. $\operatorname{arcsec}\left(-2\right) = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$
  Hauptwert des Arcusekans, im Bereich [0, π], exklusive π/2
3. $\cos(-x) = \cos x$
  Der Kosinus ist eine gerade Funktion, daher liefern x und −x (das heißt 360° − x)) denselben Wert
4. $x = 120^\circ,\ 240^\circ \quad (\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3})$
  Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° ≤ x < 360°
3. Schritte, Teil 2
1. $x = \pm 120^\circ + 360^\circ n$
  Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl
4. Die Antwort
$\operatorname{arcsec}\left(-2\right) = 120^\circ = \frac{2\pi}{3},\quad x = \pm 120^\circ + 360^\circ n$
arcsec(-2) = 120°
5. Probe
- Jede Lösung zurück einsetzen: sec(120°) ≈ -2; sec(240°) ≈ -2.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme arcsec(minus 2) und jeden Winkel in [0°, 360°) mit sec x gleich minus 2. Bestimme den Winkel, dessen Sekans minus 2 ist: der Hauptwert des Arcusekans, jede Lösung von sec(x) gleich minus 2 innerhalb einer Umdrehung und die allgemeine Lösung.

Schritte, Teil 1. sec als Kehrwert umschreiben. Hauptwert des Arcusekans, im Bereich [0, pi], exklusive pi/2. 120° ist ein besonderer Winkel, daher ist das Ergebnis exakt. Der Kosinus ist eine gerade Funktion, daher liefern x und minus x (das heißt 360° minus x)) denselben Wert. Lösungen innerhalb einer vollen Umdrehung, 0° kleiner oder gleich x kleiner als 360°.

Schritte, Teil 2. Allgemeine Lösung, n eine beliebige ganze Zahl.

Die Antwort. Die Antwort lautet also arcsec(minus 2) gleich 120° (2pi/3); Lösungen in [0°, 360°): 120°, 240°; allgemein: x gleich plus minus 120° plus 360°n. Eine inverse trigonometrische Funktion liefert einen Winkel, den Hauptwert. Da sich die trigonometrischen Funktionen wiederholen, hat die Gleichung sec(x) gleich minus 2 unendlich viele Lösungen; der Taschenrechner listet diejenigen innerhalb einer Umdrehung und das allgemeine Muster auf.

Probe. Jede Lösung zurück einsetzen: sec(120°) ungefähr minus 2; sec(240°) ungefähr minus 2.

Schritte auf dem Bildschirm

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