VektorenLineare AlgebraHochschule≈ 0:43

Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨1, 2, 3⟩ und ⟨4, -5, 6⟩

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: u · v = 12, Winkel ≈ 68.562447°.

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨1, 2, 3⟩ und ⟨4, -5, 6⟩.

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨1, 2, 3⟩ und ⟨4, -5, 6⟩.
2. Schritte, Teil 1
1. $(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
  Entsprechende Komponenten multiplizieren
2. $u v = 4 - 10 + 18 = 12$
  Die Produkte addieren
3. $|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
  Die Beträge berechnen
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
  Winkel zwischen den Vektoren
3. Schritte, Teil 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$
  Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v
4. Die Antwort
$u v = 12$
u·v = 12
5. Probe
- Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v·u denselben Wert.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨1, 2, 3⟩ und ⟨4, minus 5, 6⟩. Skalarprodukt zweier 3-dimensionaler Vektoren.

Schritte, Teil 1. Entsprechende Komponenten multiplizieren. Die Produkte addieren. Die Beträge berechnen. Winkel zwischen den Vektoren.

Schritte, Teil 2. Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v.

Die Antwort. Die Antwort lautet also u mal v gleich 12, Winkel ungefähr 68.562447°. Das Skalarprodukt ist positiv: Der Winkel zwischen den Vektoren ist also spitz.

Probe. Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v mal u denselben Wert.

Schritte auf dem Bildschirm

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