VektorenLineare AlgebraHochschule≈ 0:39

Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨3, 4⟩ und ⟨-4, 3⟩

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨3, 4⟩ und ⟨-4, 3⟩.

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨3, 4⟩ und ⟨-4, 3⟩.
2. Schritte, Teil 1
1. $(3)(-4) + (4)(3)$
  Entsprechende Komponenten multiplizieren
2. $u v = -12 + 12 = 0$
  Die Produkte addieren
3. $|u| = \sqrt{25} = 5,\quad |v| = \sqrt{25} = 5$
  Die Beträge berechnen
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{0}{25} \approx 0 \Rightarrow \theta \approx 90° \ (1.5707963\text{ rad})$
  Winkel zwischen den Vektoren
3. Schritte, Teil 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, 0 \rangle$
  Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v
4. Die Antwort
$u v = 0$
u·v = 0
5. Probe
- Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v·u denselben Wert.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨3, 4⟩ und ⟨-4, 3⟩. Skalarprodukt zweier 2-dimensionaler Vektoren.

Schritte, Teil 1. Entsprechende Komponenten multiplizieren. Die Produkte addieren. Die Beträge berechnen. Winkel zwischen den Vektoren.

Schritte, Teil 2. Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v.

Die Antwort. Die Antwort lautet also u mal v gleich 0, Winkel ungefähr 90°. Das Skalarprodukt ist 0: Die Vektoren sind also orthogonal (senkrecht).

Probe. Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v mal u denselben Wert.

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