VektorenLineare AlgebraHochschule≈ 0:42

Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨2, -1⟩ und ⟨1, 3⟩

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨2, -1⟩ und ⟨1, 3⟩.

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨2, -1⟩ und ⟨1, 3⟩.
2. Schritte, Teil 1
1. $(2)(1) + (-1)(3)$
  Entsprechende Komponenten multiplizieren
2. $u v = 2 - 3 = -1$
  Die Produkte addieren
3. $|u| = \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2.236067977,\quad |v| = \sqrt{10} = \sqrt{10} \approx 3.16227766$
  Die Beträge berechnen
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-1}{7.0710678} \approx -0.14142136 \Rightarrow \theta \approx 98.130102° \ (1.7126934\text{ rad})$
  Winkel zwischen den Vektoren
3. Schritte, Teil 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.31622777,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \rangle$
  Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v
4. Die Antwort
$u v = -1$
u·v = -1
5. Probe
- Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v·u denselben Wert.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨2, minus 1⟩ und ⟨1, 3⟩. Skalarprodukt zweier 2-dimensionaler Vektoren.

Schritte, Teil 1. Entsprechende Komponenten multiplizieren. Die Produkte addieren. Die Beträge berechnen. Winkel zwischen den Vektoren.

Schritte, Teil 2. Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v.

Die Antwort. Die Antwort lautet also u mal v gleich minus 1, Winkel ungefähr 98.130102°. Das Skalarprodukt ist negativ: Der Winkel zwischen den Vektoren ist also stumpf.

Probe. Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v mal u denselben Wert.

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