VektorenLineare AlgebraHochschule≈ 0:41

Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨1, 0, 1⟩ und ⟨0, 1, 1⟩

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨1, 0, 1⟩ und ⟨0, 1, 1⟩.

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨1, 0, 1⟩ und ⟨0, 1, 1⟩.
2. Schritte, Teil 1
1. $(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)$
  Entsprechende Komponenten multiplizieren
2. $u v = 0 + 0 + 1 = 1$
  Die Produkte addieren
3. $|u| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562,\quad |v| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562$
  Die Beträge berechnen
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{1}{2} \approx 0.5 \Rightarrow \theta \approx 60° \ (1.0471976\text{ rad})$
  Winkel zwischen den Vektoren
3. Schritte, Teil 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0.70710678,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \rangle$
  Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v
4. Die Antwort
$u v = 1$
u·v = 1
5. Probe
- Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v·u denselben Wert.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨1, 0, 1⟩ und ⟨0, 1, 1⟩. Skalarprodukt zweier 3-dimensionaler Vektoren.

Schritte, Teil 1. Entsprechende Komponenten multiplizieren. Die Produkte addieren. Die Beträge berechnen. Winkel zwischen den Vektoren.

Schritte, Teil 2. Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v.

Die Antwort. Die Antwort lautet also u mal v gleich 1, Winkel ungefähr 60°. Das Skalarprodukt ist positiv: Der Winkel zwischen den Vektoren ist also spitz.

Probe. Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v mal u denselben Wert.

Schritte auf dem Bildschirm

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