VektorenLineare AlgebraHochschule≈ 0:43

Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨5, 2, -1⟩ und ⟨1, -3, 4⟩

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: u · v = -5, Winkel ≈ 100.31319°.

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨5, 2, -1⟩ und ⟨1, -3, 4⟩.

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨5, 2, -1⟩ und ⟨1, -3, 4⟩.
2. Schritte, Teil 1
1. $(5)(1) + (2)(-3) + (-1)(4)$
  Entsprechende Komponenten multiplizieren
2. $u v = 5 - 6 - 4 = -5$
  Die Produkte addieren
3. $|u| = \sqrt{30} = \sqrt{30} \approx 5.477225575,\quad |v| = \sqrt{26} = \sqrt{26} \approx 5.099019514$
  Die Beträge berechnen
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-5}{27.92848} \approx -0.17902872 \Rightarrow \theta \approx 100.31319° \ (1.7507955\text{ rad})$
  Winkel zwischen den Vektoren
3. Schritte, Teil 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.98058068,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{5}{26}, \frac{15}{26}, -\frac{10}{13} \rangle$
  Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v
4. Die Antwort
$u v = -5$
u·v = -5
5. Probe
- Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v·u denselben Wert.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen ⟨5, 2, minus 1⟩ und ⟨1, minus 3, 4⟩. Skalarprodukt zweier 3-dimensionaler Vektoren.

Schritte, Teil 1. Entsprechende Komponenten multiplizieren. Die Produkte addieren. Die Beträge berechnen. Winkel zwischen den Vektoren.

Schritte, Teil 2. Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v.

Die Antwort. Die Antwort lautet also u mal v gleich minus 5, Winkel ungefähr 100.31319°. Das Skalarprodukt ist negativ: Der Winkel zwischen den Vektoren ist also stumpf.

Probe. Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v mal u denselben Wert.

Schritte auf dem Bildschirm

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