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Aufgabe lösen
MatrizenLineare AlgebraHochschule≈ 1:01

Bestimme die Eigenwerte der Matrix [4 1; 2 3]

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: λ = 5, 2.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme die Eigenwerte der Matrix [4 1; 2 3].

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.4 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme die Eigenwerte der Matrix [4 1; 2 3].
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[4123]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}
      Die charakteristische Gleichung aufstellen
    2. λ2−(7)λ+(10)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0
      Für eine 2×2-Matrix lautet sie λ² − (Spur)λ + det
    3. p(λ)=λ2−7λ+10p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10
      Charakteristisches Polynom
    4. λ=2, λ=5\lambda = 2,\ \lambda = 5
      Rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen gefunden
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. [−112−2] v=0⇒v=⟨1,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle
      Eigenvektoren zu λ = 5: (A − λI)v = 0 lösen
    2. [2121] v=0⇒v=⟨−1,2⟩\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle
      Eigenvektoren zu λ = 2: (A − λI)v = 0 lösen
  4. 4. Die Antwort
    λ=5, 2\lambda = 5,\ 2

    p(λ) roots: 5, 2

  5. 5. Probe
    • Die Summe der Eigenwerte ≈ 7 ist gleich der Spur 7.
    • Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante 10.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme die Eigenwerte der Matrix [4 1; 2 3]. Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2 mal 2-Matrix berechnen.

Schritte, Teil 1. Die charakteristische Gleichung aufstellen. Für eine 2 mal 2-Matrix lautet sie λ hoch zwei minus (Spur)λ plus det. Charakteristisches Polynom. Rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen gefunden.

Schritte, Teil 2. Eigenvektoren zu λ gleich 5: (A minus λI)v gleich 0 lösen. Eigenvektoren zu λ gleich 2: (A minus λI)v gleich 0 lösen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also λ gleich 5, 2. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Eigenvektoren: λ gleich 5: ⟨1, 1⟩; λ gleich 2: ⟨-1, 2⟩.

Probe. Die Summe der Eigenwerte ungefähr 7 ist gleich der Spur 7. Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante 10.

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