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Aufgabe lösen
MatrizenLineare AlgebraHochschule≈ 1:11

Bestimme die Eigenwerte der Matrix [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: λ = 11, 2, 1.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme die Eigenwerte der Matrix [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9].

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.5 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme die Eigenwerte der Matrix [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9].
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[200034049]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9\end{bmatrix}
      Die charakteristische Gleichung aufstellen
    2. p(λ)=λ3−14λ2+35λ−22p(\lambda) = \lambda^{3} - 14\lambda^{2} + 35\lambda - 22
      Charakteristisches Polynom
    3. λ=1, λ=2, λ=11\lambda = 1,\ \lambda = 2,\ \lambda = 11
      Rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen gefunden
    4. [−9000−8404−2] v=0⇒v=⟨0,1,2⟩\begin{bmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 4 \\ 0 & 4 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, 1, 2 \rangle
      Eigenvektoren zu λ = 11: (A − λI)v = 0 lösen
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. [000014047] v=0⇒v=⟨1,0,0⟩\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 7\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 0, 0 \rangle
      Eigenvektoren zu λ = 2: (A − λI)v = 0 lösen
    2. [100024048] v=0⇒v=⟨0,−2,1⟩\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 8\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, -2, 1 \rangle
      Eigenvektoren zu λ = 1: (A − λI)v = 0 lösen
  4. 4. Die Antwort
    λ=11, 2, 1\lambda = 11,\ 2,\ 1

    p(λ) roots: 11, 2, 1

  5. 5. Probe
    • Die Summe der Eigenwerte ≈ 14 ist gleich der Spur 14.
    • Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante 22.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme die Eigenwerte der Matrix [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]. Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3 mal 3-Matrix berechnen.

Schritte, Teil 1. Die charakteristische Gleichung aufstellen. Charakteristisches Polynom. Rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen gefunden. Eigenvektoren zu λ gleich 11: (A minus λI)v gleich 0 lösen.

Schritte, Teil 2. Eigenvektoren zu λ gleich 2: (A minus λI)v gleich 0 lösen. Eigenvektoren zu λ gleich 1: (A minus λI)v gleich 0 lösen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also λ gleich 11, 2, 1. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Eigenvektoren: λ gleich 11: ⟨0, 1, 2⟩; λ gleich 2: ⟨1, 0, 0⟩; λ gleich 1: ⟨0, minus 2, 1⟩.

Probe. Die Summe der Eigenwerte ungefähr 14 ist gleich der Spur 14. Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante 22.

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