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Aufgabe lösen
MatrizenLineare AlgebraHochschule≈ 1:02

Bestimme die Eigenwerte der Matrix [3 1; 0 2]

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: λ = 3, 2.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme die Eigenwerte der Matrix [3 1; 0 2].

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.4 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme die Eigenwerte der Matrix [3 1; 0 2].
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[3102]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}
      Die charakteristische Gleichung aufstellen
    2. λ2−(5)λ+(6)=0\lambda^2 - (5)\lambda + (6) = 0
      Für eine 2×2-Matrix lautet sie λ² − (Spur)λ + det
    3. p(λ)=λ2−5λ+6p(\lambda) = \lambda^{2} - 5\lambda + 6
      Charakteristisches Polynom
    4. λ=2, λ=3\lambda = 2,\ \lambda = 3
      Rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen gefunden
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. [010−1] v=0⇒v=⟨1,0⟩\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 0 \rangle
      Eigenvektoren zu λ = 3: (A − λI)v = 0 lösen
    2. [1100] v=0⇒v=⟨−1,1⟩\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1 \rangle
      Eigenvektoren zu λ = 2: (A − λI)v = 0 lösen
  4. 4. Die Antwort
    λ=3, 2\lambda = 3,\ 2

    p(λ) roots: 3, 2

  5. 5. Probe
    • Die Summe der Eigenwerte ≈ 5 ist gleich der Spur 5.
    • Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante 6.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme die Eigenwerte der Matrix [3 1; 0 2]. Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2 mal 2-Matrix berechnen.

Schritte, Teil 1. Die charakteristische Gleichung aufstellen. Für eine 2 mal 2-Matrix lautet sie λ hoch zwei minus (Spur)λ plus det. Charakteristisches Polynom. Rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen gefunden.

Schritte, Teil 2. Eigenvektoren zu λ gleich 3: (A minus λI)v gleich 0 lösen. Eigenvektoren zu λ gleich 2: (A minus λI)v gleich 0 lösen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also λ gleich 3, 2. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Eigenvektoren: λ gleich 3: ⟨1, 0⟩; λ gleich 2: ⟨-1, 1⟩.

Probe. Die Summe der Eigenwerte ungefähr 5 ist gleich der Spur 5. Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante 6.

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