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Aufgabe lösen
MatrizenLineare AlgebraHochschule≈ 1:07

Bestimme die Eigenwerte der Matrix [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: λ = 3, 3, 1.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme die Eigenwerte der Matrix [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3].

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.4 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme die Eigenwerte der Matrix [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3].
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[210120003]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
      Die charakteristische Gleichung aufstellen
    2. p(λ)=λ3−7λ2+15λ−9p(\lambda) = \lambda^{3} - 7\lambda^{2} + 15\lambda - 9
      Charakteristisches Polynom
    3. λ=1, λ=3, λ=3\lambda = 1,\ \lambda = 3,\ \lambda = 3
      Rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen gefunden
    4. [−1101−10000] v=0⇒v=⟨1,1,0⟩, ⟨0,0,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1, 0 \rangle,\ \langle 0, 0, 1 \rangle
      Eigenvektoren zu λ = 3: (A − λI)v = 0 lösen
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. [110110002] v=0⇒v=⟨−1,1,0⟩\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1, 0 \rangle
      Eigenvektoren zu λ = 1: (A − λI)v = 0 lösen
  4. 4. Die Antwort
    λ=3, 3, 1\lambda = 3,\ 3,\ 1

    p(λ) roots: 3, 3, 1

  5. 5. Probe
    • Die Summe der Eigenwerte ≈ 7 ist gleich der Spur 7.
    • Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante 9.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme die Eigenwerte der Matrix [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]. Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3 mal 3-Matrix berechnen.

Schritte, Teil 1. Die charakteristische Gleichung aufstellen. Charakteristisches Polynom. Rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen gefunden. Eigenvektoren zu λ gleich 3: (A minus λI)v gleich 0 lösen. Algebraische Vielfachheit 2, geometrische Vielfachheit 2.

Schritte, Teil 2. Eigenvektoren zu λ gleich 1: (A minus λI)v gleich 0 lösen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also λ gleich 3, 3, 1. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Eigenvektoren: λ gleich 3: ⟨1, 1, 0⟩, ⟨0, 0, 1⟩; λ gleich 1: ⟨-1, 1, 0⟩.

Probe. Die Summe der Eigenwerte ungefähr 7 ist gleich der Spur 7. Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante 9.

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