Lineare RegressionStatistik und WahrscheinlichkeitHochschule≈ 1:24

Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 und y = 52, 58, 61, 67, 70, 78

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 und y = 52, 58, 61, 67, 70, 78.

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 und y = 52, 58, 61, 67, 70, 78.
2. Schritte, Teil 1
1. $\bar x = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} \approx 3.5,\quad \bar y = \frac{386}{6} = \frac{193}{3} \approx 64.3333$
  Mittelwerte von x und y
2. $S_{xx} = \sum (x-\bar x)^2 = \frac{35}{2} \approx 17.5,\quad S_{yy} = \frac{1288}{3} \approx 429.333,\quad S_{xy} = \sum (x-\bar x)(y-\bar y) = 86$
  Summen der Quadrate und Kreuzprodukte um die Mittelwerte
3. $b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{172}{35} \approx 4.91429$
  Steigung
4. $a = \bar y - b\bar x = \frac{707}{15} \approx 47.1333$
  Achsenabschnitt: Die Gerade verläuft durch den Punkt der Mittelwerte
3. Schritte, Teil 2
1. $\hat y = \frac{707}{15} + \frac{172}{35}x$
  Regressionsgerade
2. $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \approx 0.992161,\quad r^2 \approx 0.984383$
  Korrelation und Bestimmtheitsmaß
4. Die Antwort
$\hat y = \frac{707}{15} + \frac{172}{35}x$
b = 172/35 ≈ 4.91429, a = 707/15 ≈ 47.1333
5. Probe
- Die Summe der Residuen ist 0, wie es für eine Gerade der kleinsten Quadrate sein muss.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x gleich 1, 2, 3, 4, 5, 6 und y gleich 52, 58, 61, 67, 70, 78. Die Gerade ŷ gleich a plus bx anpassen, welche die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zu den Daten minimiert, und die Güte der Anpassung mit r und r hoch zwei messen.

Schritte, Teil 1. Mittelwerte von x und y. Summen der Quadrate und Kreuzprodukte um die Mittelwerte. Steigung. Achsenabschnitt: Die Gerade verläuft durch den Punkt der Mittelwerte.

Schritte, Teil 2. Regressionsgerade. Korrelation und Bestimmtheitsmaß. Starker positiver linearer Zusammenhang; etwa 98.44 Prozent der Variation in y wird durch die Gerade erklärt.

Die Antwort. Die Antwort lautet also ŷ gleich 707 durch 15 plus (172 durch 35)x; r ungefähr 0.992161, r hoch zwei ungefähr 0.984383. Die Steigung ist die vorhergesagte Änderung von y für jede Einheit Zunahme von x. Die Korrelation misst die Stärke des linearen Zusammenhangs, nicht ob x die Ursache für y ist.

Probe. Die Summe der Residuen ist 0, wie es für eine Gerade der kleinsten Quadrate sein muss.

Schritte auf dem Bildschirm

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