Lineare RegressionStatistik und WahrscheinlichkeitHochschule≈ 1:15

Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 2, 4, 6, 8 und y = 3, 7, 8, 12

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 2, 4, 6, 8 und y = 3, 7, 8, 12.

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 2, 4, 6, 8 und y = 3, 7, 8, 12.
2. Schritte, Teil 1
1. $\bar x = \frac{20}{4} = 5,\quad \bar y = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} \approx 7.5$
  Mittelwerte von x und y
2. $S_{xx} = \sum (x-\bar x)^2 = 20,\quad S_{yy} = 41,\quad S_{xy} = \sum (x-\bar x)(y-\bar y) = 28$
  Summen der Quadrate und Kreuzprodukte um die Mittelwerte
3. $b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{7}{5} \approx 1.4$
  Steigung
4. $a = \bar y - b\bar x = \frac{1}{2} \approx 0.5$
  Achsenabschnitt: Die Gerade verläuft durch den Punkt der Mittelwerte
3. Schritte, Teil 2
1. $\hat y = \frac{1}{2} + \frac{7}{5}x$
  Regressionsgerade
2. $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \approx 0.977802,\quad r^2 \approx 0.956098$
  Korrelation und Bestimmtheitsmaß
4. Die Antwort
$\hat y = \frac{1}{2} + \frac{7}{5}x$
b = 7/5 ≈ 1.4, a = 1/2 ≈ 0.5
5. Probe
- Die Summe der Residuen ist 0, wie es für eine Gerade der kleinsten Quadrate sein muss.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x gleich 2, 4, 6, 8 und y gleich 3, 7, 8, 12. Die Gerade ŷ gleich a plus bx anpassen, welche die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zu den Daten minimiert, und die Güte der Anpassung mit r und r hoch zwei messen.

Schritte, Teil 1. Mittelwerte von x und y. Summen der Quadrate und Kreuzprodukte um die Mittelwerte. Steigung. Achsenabschnitt: Die Gerade verläuft durch den Punkt der Mittelwerte.

Schritte, Teil 2. Regressionsgerade. Korrelation und Bestimmtheitsmaß. Starker positiver linearer Zusammenhang; etwa 95.61 Prozent der Variation in y wird durch die Gerade erklärt.

Die Antwort. Die Antwort lautet also ŷ gleich 1 durch 2 plus (7 durch 5)x; r ungefähr 0.977802, r hoch zwei ungefähr 0.956098. Die Steigung ist die vorhergesagte Änderung von y für jede Einheit Zunahme von x. Die Korrelation misst die Stärke des linearen Zusammenhangs, nicht ob x die Ursache für y ist.

Probe. Die Summe der Residuen ist 0, wie es für eine Gerade der kleinsten Quadrate sein muss.

Schritte auf dem Bildschirm

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