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Aufgabe lösen
Lineare RegressionStatistik und WahrscheinlichkeitHochschule≈ 1:22

Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 10, 20, 30, 40, 50 und y = 48, 41, 35, 30, 22

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: ŷ = 541/10 − (63/100)x; r ≈ -0.997615, r² ≈ 0.995236.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 10, 20, 30, 40, 50 und y = 48, 41, 35, 30, 22.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.6 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 10, 20, 30, 40, 50 und y = 48, 41, 35, 30, 22.
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. xˉ=1505=30,yˉ=1765=1765≈35.2\bar x = \frac{150}{5} = 30,\quad \bar y = \frac{176}{5} = \frac{176}{5} \approx 35.2
      Mittelwerte von x und y
    2. Sxx=∑(x−xˉ)2=1000,Syy=19945≈398.8,Sxy=∑(x−xˉ)(y−yˉ)=−630S_{xx} = \sum (x-\bar x)^2 = 1000,\quad S_{yy} = \frac{1994}{5} \approx 398.8,\quad S_{xy} = \sum (x-\bar x)(y-\bar y) = -630
      Summen der Quadrate und Kreuzprodukte um die Mittelwerte
    3. b=SxySxx=−63100≈−0.63b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = -\frac{63}{100} \approx -0.63
      Steigung
    4. a=yˉ−bxˉ=54110≈54.1a = \bar y - b\bar x = \frac{541}{10} \approx 54.1
      Achsenabschnitt: Die Gerade verläuft durch den Punkt der Mittelwerte
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. y^=54110−63100x\hat y = \frac{541}{10} - \frac{63}{100}x
      Regressionsgerade
    2. r=SxySxxSyy≈−0.997615,r2≈0.995236r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \approx -0.997615,\quad r^2 \approx 0.995236
      Korrelation und Bestimmtheitsmaß
  4. 4. Die Antwort
    y^=54110−63100x\hat y = \frac{541}{10} - \frac{63}{100}x

    b = -63/100 ≈ -0.63, a = 541/10 ≈ 54.1

  5. 5. Probe
    • Die Summe der Residuen ist 0, wie es für eine Gerade der kleinsten Quadrate sein muss.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x gleich 10, 20, 30, 40, 50 und y gleich 48, 41, 35, 30, 22. Die Gerade ŷ gleich a plus bx anpassen, welche die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zu den Daten minimiert, und die Güte der Anpassung mit r und r hoch zwei messen.

Schritte, Teil 1. Mittelwerte von x und y. Summen der Quadrate und Kreuzprodukte um die Mittelwerte. Steigung. Achsenabschnitt: Die Gerade verläuft durch den Punkt der Mittelwerte.

Schritte, Teil 2. Regressionsgerade. Korrelation und Bestimmtheitsmaß. Starker negativer linearer Zusammenhang; etwa 99.52 Prozent der Variation in y wird durch die Gerade erklärt.

Die Antwort. Die Antwort lautet also ŷ gleich 541 durch 10 minus (63 durch 100)x; r ungefähr minus 0.997615, r hoch zwei ungefähr 0.995236. Die Steigung ist die vorhergesagte Änderung von y für jede Einheit Zunahme von x. Die Korrelation misst die Stärke des linearen Zusammenhangs, nicht ob x die Ursache für y ist.

Probe. Die Summe der Residuen ist 0, wie es für eine Gerade der kleinsten Quadrate sein muss.

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Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate für x = 10, 20, 30, 40, 50 und y = 48, 41, 35, 30, 22: Videolektion Schritt für Schritt