VektorenLineare AlgebraHochschule≈ 1:05

Bestimme den Betrag und den Einheitsvektor von ⟨2, -1, 3⟩

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme den Betrag und den Einheitsvektor von ⟨2, -1, 3⟩.

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme den Betrag und den Einheitsvektor von ⟨2, -1, 3⟩.
2. Schritt für Schritt
1. $|\vec u|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 3^2 = 14$
  Die Komponenten quadrieren und addieren
2. $|\vec u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387$
  Die Quadratwurzel für den Betrag ziehen
3. $\hat u = \frac{\vec u}{|\vec u|} = \left(\frac{\sqrt{14}}{7},\ -\frac{\sqrt{14}}{14},\ \frac{3\sqrt{14}}{14}\right)$
  Jede Komponente durch den Betrag für den Einheitsvektor teilen
4. $(0.5345224838)^2 + (-0.2672612419)^2 + (0.8017837257)^2 \approx 1$
  Prüfung: Der Einheitsvektor hat die Länge 1
3. Die Antwort
$|\vec u| = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad \hat u = \left(\frac{\sqrt{14}}{7},\ -\frac{\sqrt{14}}{14},\ \frac{3\sqrt{14}}{14}\right)$
|u| = √14 ≈ 3.741657387; unit vector û = ⟨√14/7, -√14/14, 3√14/14⟩
4. Probe
- Die Quadrate der Komponenten des Einheitsvektors addieren sich zu 1.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme den Betrag und den Einheitsvektor von ⟨2, minus 1, 3⟩. Vektorbetrag und Einheitsvektor unter Verwendung exakter Komponenten.

Schritt für Schritt. Die Komponenten quadrieren und addieren. Die Quadratwurzel für den Betrag ziehen. Jede Komponente durch den Betrag für den Einheitsvektor teilen. Die Nenner sind rational gemacht, sodass jede Komponente mit der Wurzel im Zähler geschrieben wird. Prüfung: Der Einheitsvektor hat die Länge 1.

Die Antwort. Die Antwort lautet also |u| gleich die Wurzel aus 14 ungefähr 3.741657387; Einheitsvektor û gleich ⟨die Wurzel aus 14 durch 7, minus die Wurzel aus 14 durch 14, 3die Wurzel aus 14 durch 14⟩. Vektoren werden komponentenweise addiert, subtrahiert und skaliert. Der Betrag ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras, und die Division durch diesen ergibt einen Einheitsvektor der Länge 1, der in dieselbe Richtung zeigt.

Probe. Die Quadrate der Komponenten des Einheitsvektors addieren sich zu 1.

Schritte auf dem Bildschirm

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