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Aufgabe lösen
GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:08

Löse das System x - 2y = 1, 2x - 4y = 5

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: Keine Lösung (das System ist inkonsistent).

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.5 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    {x−2y=12x−4y=5\begin{cases} x-2y = 1 \\ 2x-4y = 5 \end{cases}
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. {x−2y=12x−4y=5\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x - 4y = 5 \end{cases}
      Jede Gleichung in Normalform schreiben
    2. [1−212−45]\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 5\end{bmatrix}
      Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
    3. Gauß-Jordan-Verfahren
    4. R2→R2−2R1: [1−21003]R_{2} \to R_{2} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
      Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. R2→13R2: [1−21001]R_{2} \to \tfrac{1}{3} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      R2 durch 3 teilen
    2. R1→R1−1R2: [1−20001]R_{1} \to R_{1} - 1R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Spalte 3 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
    3. [1−20001]\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Reduzierte Zeilenstufenform
    4. Eine Zeile lautet 0 = ungleich null
  4. 4. Die Antwort
    Keine Lo¨sung\text{Keine Lösung}

    x - 2y = 1; 2x - 4y = 5 ⇒ No solution (the system is inconsistent)

  5. 5. Probe
    • Die Koeffizientenzeilen sind linear abhängig, die Konstanten aber nicht; das ist das Kennzeichen paralleler Geraden oder Ebenen.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System x minus 2y gleich 1, 2x minus 4y gleich 5. 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten (x, y).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren.

Schritte, Teil 2. R2 durch 3 teilen. Spalte 3 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren. Reduzierte Zeilenstufenform. Eine Zeile lautet 0 gleich ungleich null. Zeile 2 besagt 0 gleich 1, was unmöglich ist, also widersprechen sich die Gleichungen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Keine Lösung (das System ist inkonsistent). Die Gleichungen widersprechen sich, also erfüllen keine Werte alle gleichzeitig.

Probe. Die Koeffizientenzeilen sind linear abhängig, die Konstanten aber nicht; das ist das Kennzeichen paralleler Geraden oder Ebenen.

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