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Resolver un problema
DerivadasCálculoUniversidad≈ 1:35

Derivada de (√(x³)((eˣ+1)³

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: f'(x) = (x²(e^x + 1)³·3/2 + 3sqrt(x³)²(e^x + 1)²e^x) / sqrt(x³).

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.6 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ddx[x3(ex+1)3]\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{3}} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\right]
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. ddx[x3(ex+1)3]=x2(ex+1)3⋅32+3x32(ex+1)2exx3\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{3}} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\right] = \frac{\frac{{x}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\cdot3}{2}+3 {\sqrt{{x}^{3}}}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{2} {e}^{x}}{\sqrt{{x}^{3}}}
      Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
    2. ddx[(ex+1)3]=3(ex+1)2ex\frac{d}{dx}\left[{\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\right] = 3 {\left({e}^{x}+1\right)}^{2} {e}^{x}
      Regla de la potencia con la regla de la cadena: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
    3. ddx[ex+1]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}
      Regla de la suma: derivar cada término por separado
    4. ddx[ex]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}
      Regla de la exponencial: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. ddx[x3]=x2⋅32x3\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{3}}\right] = \frac{\frac{{x}^{2}\cdot3}{2}}{\sqrt{{x}^{3}}}
      Regla de la cadena — d/dx[√u] = u′/(2√u)
    2. ddx[x3]=3x2\frac{d}{dx}\left[{x}^{3}\right] = 3{x}^{2}
      Regla de la potencia: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    3. f′(x)=x2(ex+1)3⋅32+3x32(ex+1)2exx3f'(x) = \frac{\frac{{x}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\cdot3}{2}+3 {\sqrt{{x}^{3}}}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{2} {e}^{x}}{\sqrt{{x}^{3}}}
      Reunir y simplificar
  4. 4. La respuesta
    f′(x)=x2(ex+1)3⋅32+3x32(ex+1)2exx3f'(x) = \frac{\frac{{x}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\cdot3}{2}+3 {\sqrt{{x}^{3}}}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{2} {e}^{x}}{\sqrt{{x}^{3}}}

    f'(x) = (x²(e^x + 1)³·3/2 + 3sqrt(x³)²(e^x + 1)²e^x) / sqrt(x³)

  5. 5. Comprobación
    • Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Derivada de (sqrt(x al cubo))((e elevado a x más 1) al cubo). Calcular la derivada de (sqrt(x al cubo)) ((e elevado a x más 1) al cubo) con respecto a x.

Pasos, parte 1. Regla del producto: (uv) prima es igual a u prima v más uv prima. Regla de la potencia con la regla de la cadena: d sobre d x[u elevado a n] es igual a n por u elevado a n menos 1 por u prima. Regla de la suma: derivar cada término por separado. Regla de la exponencial: d sobre d x[eᵘ] es igual a eᵘ por u prima.

Pasos, parte 2. Regla de la cadena — d sobre d x[la raíz cuadrada de u] es igual a u prima /(2la raíz cuadrada de u. Regla de la potencia: d sobre d x[x elevado a n] es igual a n por x elevado a n menos 1. Reunir y simplificar.

La respuesta. Entonces, la respuesta es f prima de x es igual a (x al cuadrado(e elevado a x más 1) al cubo por 3 entre 2 más 3sqrt(x al cubo) al cuadrado(e elevado a x más 1) al cuadradoe elevado a x / sqrt(x al cubo). La derivada se construye de fuera hacia dentro: las sumas se separan en términos, las constantes salen como factor, los productos y los cocientes usan sus reglas y cada función compuesta se multiplica por la derivada de su interior (regla de la cadena).

Comprobación. Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra, y se cumple.

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