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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 2:29

Halla lim x→0 (2ˣ - 1)/x

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = ln(2) ≈ 0.6931471806.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.9 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→02x−1x\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x}
  2. 2. Paso a paso
    1. lim⁡x→02x−1x=lim⁡x→02xln⁡(2)1\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x} \ln\left(2\right)}{1}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    2. lim⁡x→02xln⁡(2)1=lim⁡x→02xln⁡(2)\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x} \ln\left(2\right)}{1} = \lim_{x \to 0} {2}^{x} \ln\left(2\right)
      Simplificar
    3. lim⁡x→02xln⁡(2)=20ln⁡(2)=ln⁡(2)≈0.6931471806\lim_{x \to 0} {2}^{x} \ln\left(2\right) = {2}^{0} \ln\left(2\right) = \ln\left(2\right) \approx 0.6931471806
      Sustitución directa
  3. 3. La respuesta
    lim⁡x→02x−1x=ln⁡(2)≈0.6931471806\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x} = \ln\left(2\right) \approx 0.6931471806

    lim x→0 (2^x - 1) / x = ln(2) ≈ 0.6931471806

  4. 4. Comprobación
    • Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) = 0.69555501, f(0.001) = 0.69338746, f(0.0001) = 0.6931712, f(0.00001) = 0.69314958 ✓
    • Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(-0.01) = 0.69075046, f(-0.001) = 0.69290701, f(-0.0001) = 0.69312316, f(-0.00001) = 0.69314478 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que 0 (2 elevado a x menos 1)/x. Calcular el límite de (2 elevado a x menos 1) / x cuando x → 0.

Paso a paso. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar. Sustitución directa. La expresión es continua en x es igual a 0, así que el límite es igual a su valor en ese punto.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a ln(2) aproximadamente 0.6931471806. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) es igual a 0.69555501, f(0.001) es igual a 0.69338746, f(0.0001) es igual a 0.6931712, f(0.00001) es igual a 0.69314958, y se cumple. Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(menos 0.01) es igual a 0.69075046, f(menos 0.001) es igual a 0.69290701, f(menos 0.0001) es igual a 0.69312316, f(menos 0.00001) es igual a 0.69314478, y se cumple.

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