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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 2:25

Halla lim x→0 ln(1+3x)/x

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = 3.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.9 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x}
  2. 2. Paso a paso
    1. lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x=lim⁡x→033x+11\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    2. lim⁡x→033x+11=lim⁡x→033x+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1}
      Simplificar
    3. lim⁡x→033x+1=33(0)+1=3\lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1} = \frac{3}{3\left(0\right)+1} = 3
      Sustitución directa
  3. 3. La respuesta
    lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x=3\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = 3

    lim x→0 ln(1 + 3 x) / x = 3

  4. 4. Comprobación
    • Valores numéricos desde la derecha: f(0.01) = 2.9558802, f(0.001) = 2.995509, f(0.0001) = 2.9995501, f(0.00001) = 2.999955 (sin tendencia clara con esta precisión)
    • Valores numéricos desde la izquierda: f(-0.01) = 3.0459207, f(-0.001) = 3.004509, f(-0.0001) = 3.0004501, f(-0.00001) = 3.000045 (sin tendencia clara con esta precisión)

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que 0 ln(1 más 3x)/x. Calcular el límite de ln(1 más 3 x) / x cuando x → 0.

Paso a paso. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar. Sustitución directa. La expresión es continua en x es igual a 0, así que el límite es igual a su valor en ese punto.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a 3. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Valores numéricos desde la derecha: f(0.01) es igual a 2.9558802, f(0.001) es igual a 2.995509, f(0.0001) es igual a 2.9995501, f(0.00001) es igual a 2.999955 (sin tendencia clara con esta precisión). Valores numéricos desde la izquierda: f(menos 0.01) es igual a 3.0459207, f(menos 0.001) es igual a 3.004509, f(menos 0.0001) es igual a 3.0004501, f(menos 0.00001) es igual a 3.000045 (sin tendencia clara con esta precisión).

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