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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 1:59

Halla lim x→0 sin(5x)/x

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = 5.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.7 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→0sin⁡(5x)x\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{x}
  2. 2. Paso a paso
    1. lim⁡x→0sin⁡(5x)x=lim⁡x→05cos⁡(5x)1\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5\cos\left(5x\right)}{1}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    2. lim⁡x→05cos⁡(5x)1=lim⁡x→05cos⁡(5x)\lim_{x \to 0} \frac{5\cos\left(5x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 5\cos\left(5x\right)
      Simplificar
    3. lim⁡x→05cos⁡(5x)=5cos⁡(5(0))=5\lim_{x \to 0} 5\cos\left(5x\right) = 5\cos\left(5\left(0\right)\right) = 5
      Sustitución directa
  3. 3. La respuesta
    lim⁡x→0sin⁡(5x)x=5\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{x} = 5

    lim x→0 sin(5 x) / x = 5

  4. 4. Comprobación
    • Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) = 4.9979169, f(0.001) = 4.9999792, f(0.0001) = 4.9999998, f(0.00001) = 5 ✓
    • Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(-0.01) = 4.9979169, f(-0.001) = 4.9999792, f(-0.0001) = 4.9999998, f(-0.00001) = 5 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que 0 sin(5x)/x. Calcular el límite de sin(5 x) / x cuando x → 0.

Paso a paso. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar. Sustitución directa. La expresión es continua en x es igual a 0, así que el límite es igual a su valor en ese punto.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a 5. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) es igual a 4.9979169, f(0.001) es igual a 4.9999792, f(0.0001) es igual a 4.9999998, f(0.00001) es igual a 5, y se cumple. Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(menos 0.01) es igual a 4.9979169, f(menos 0.001) es igual a 4.9999792, f(menos 0.0001) es igual a 4.9999998, f(menos 0.00001) es igual a 5, y se cumple.

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