PrimitivesAnalyseUniversité≈ 1:13

Primitive de sin(x)³

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: cos(x)³/3 - cos(x) + C.

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx$
2. Étapes, partie 1
1. $\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx$
  Partir de l’intégrale
2. $sin^{3}( x) = 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}+-1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}$
  Puissance impaire : écrire sin^3 u = sin u · (1 − cos² u)^1, puis substituer u = cos
3. $\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -1\int {u}^{0}\,du$
  Substituer u = cos(x), donc du = (-sin(x)) dx
4. $\int {u}^{0}\,du = u$
  Primitive d’une puissance : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. Étapes, partie 2
1. $\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -\cos\left( x\right)$
  Remplacer par la variable d'origine u = cos(x)
2. $\int -1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}\,dx = \int {u}^{2}\,du$
  Substituer u = cos(x), donc du = (-sin(x)) dx
3. $\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right)$
  Intégrer terme à terme
4. $\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C$
  Simplifier et ajouter la constante d’intégration
4. La réponse
$\frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C$
∫ sin(x)³ dx = cos(x)³/3 - cos(x) + C
5. Vérification
- Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Primitive de sin(x) au cube. Calculer une primitive (intégrale indéfinie) de sin(x) au cube par rapport à x.

Étapes, partie 1. Partir de l’intégrale. Puissance impaire: écrire sin au cube u égale sin u fois (1 moins cos au carré u) puissance 1, puis substituer u égale cos. Substituer u égale cos(x), donc du égale (moins sin(x)) dx. Primitive d’une puissance: l'intégrale de x puissance n dx égale x puissance n plus 1/(n plus 1).

Étapes, partie 2. Remplacer par la variable d prime origine u égale cos(x). Substituer u égale cos(x), donc du égale (moins sin(x)) dx. Intégrer terme à terme. Simplifier et ajouter la constante d’intégration.

La réponse. La réponse est donc cos(x) au cube/3 moins cos(x) plus C. Une primitive F vérifie F prime de x égale f(x). Comme la dérivée de toute constante vaut 0, deux primitives diffèrent d’une constante C.

Vérification. Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests, ce qui est vérifié.

Étapes à l’écran

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