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Résoudre un problème
PrimitivesAnalyseUniversité≈ 1:01

Calculer ∫ eˣ cos(x) dx

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
  2. 2. Étape par étape
    1. ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
      Partir de l’intégrale
    2. ∫eaxcos⁡bx dx=eax(acos⁡bx+bsin⁡bx)a2+b2\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2}
      Intégrer deux fois par parties
    3. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2}
      Exponentielle × trigonométrique (deux fois par parties)
    4. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C
      Simplifier et ajouter la constante d’intégration
  3. 3. La réponse
    ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C

    ∫ e^x cos(x) dx = e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C

  4. 4. Vérification
    • Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : l'intégrale de e puissance x cos(x) dx. Calculer une primitive (intégrale indéfinie) de e puissance x cos(x) par rapport à x.

Étape par étape. Partir de l’intégrale. Intégrer deux fois par parties. L prime intégration par parties deux fois redonne l prime intégrale initiale I, donc I égale e^ ax (a cos bx plus b sin bx)/(a au carré plus b au carré) avec un égale 1, b égale 1. Exponentielle fois trigonométrique (deux fois par parties). Simplifier et ajouter la constante d’intégration.

La réponse. La réponse est donc e puissance x fois (cos(x) plus sin(x)) / 2 plus C. Une primitive F vérifie F prime de x égale f(x). Comme la dérivée de toute constante vaut 0, deux primitives diffèrent d’une constante C.

Vérification. Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests, ce qui est vérifié.

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