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Résoudre un problème
PrimitivesAnalyseUniversité≈ 0:53

Intégrer 1/(x²-1)

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: -(ln(abs(x + 1)) / 2) + ln(abs(x - 1)) / 2 + C.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.3 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx
  2. 2. Étape par étape
    1. ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx
      Partir de l’intégrale
    2. ∫1x2−1 dx=−ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx = -\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2}
      Décomposition en éléments simples : décomposer 1/((x − r₁)(x − r₂)) en A/(x − r₁) + B/(x − r₂)
    3. ∫1x2−1 dx=−ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2+C\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx = -\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2} + C
      Simplifier et ajouter la constante d’intégration
  3. 3. La réponse
    −ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2+C-\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2} + C

    ∫ 1 / (x² - 1) dx = -(ln(abs(x + 1)) / 2) + ln(abs(x - 1)) / 2 + C

  4. 4. Vérification
    • Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrer 1/(x au carré moins 1). Calculer l prime intégrale indéfinie (primitive) de 1 / (x au carré moins 1) par rapport à x.

Étape par étape. Partir de l’intégrale. Décomposition en éléments simples: décomposer 1/((x moins r₁)(x moins r₂)) en A/(x moins r₁) plus B/(x moins r₂). Simplifier et ajouter la constante d’intégration.

La réponse. La réponse est donc -(ln(abs(x plus 1)) / 2) plus ln(abs(x moins 1)) / 2 plus C. Une primitive F vérifie F prime de x égale f(x). Comme la dérivée de toute constante vaut 0, deux primitives diffèrent d’une constante C.

Vérification. Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests, ce qui est vérifié.

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