Développer et factoriserAlgèbreLycée≈ 1:15

Factoriser 8x³ - 27

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$8x^{3} - 27$
2. Étapes, partie 1
1. $8x^{3} - 27$
  Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée
2. Reconnaître une identité remarquable
3. Appliquer le théorème des racines rationnelles
4. $8x^{3} - 27 = (2x - 3)\left(4x^{2} + 6x + 9\right)$
  Diviser par (2x - 3) par division synthétique (méthode de Horner) en x = 3/2
3. Étapes, partie 2
1. Examiner le facteur du second degré restant
2. $(2x - 3)(4x^{2} + 6x + 9)$
  Écrire la factorisation complète
4. La réponse
$(2x - 3)(4x^{2} + 6x + 9)$
8x^3 - 27 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)
5. Vérification
- En développant (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9), on retrouve 8x^3 - 27.

Transcription

Le problème. Voici le problème : 8x au cube moins 27. Factoriser un polynôme sur les rationnels.

Étapes, partie 1. Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée. Reconnaître une identité remarquable. Le facteur restant est une différence de cubes: a au cube moins b au cube égale (a moins b)(a au carré plus ab plus b au carré). Appliquer le théorème des racines rationnelles. Toute racine rationnelle p/q a p divisant le terme constant moins 27 et q divisant le coefficient dominant 8. Tester ces candidats donne la racine 3 sur 2. Diviser par (2x moins 3) par division synthétique (méthode de Horner) en x égale 3 sur 2.

Étapes, partie 2. Examiner le facteur du second degré restant. Son discriminant vaut moins 108, il est négatif: ce facteur est irréductible sur les rationnels. Écrire la factorisation complète.

La réponse. La réponse est donc (2x moins 3)(4x au carré plus 6x plus 9). 8x au cube moins 27 se factorise complètement sur les rationnels sous la forme (2x moins 3)(4x au carré plus 6x plus 9).

Vérification. En développant (2x moins 3)(4x au carré plus 6x plus 9), on retrouve 8x au cube moins 27.

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