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Résoudre un problème
MatricesAlgèbre linéaireUniversité≈ 1:11

Trouver les valeurs propres de la matrice [2 0 0 ; 0 3 4 ; 0 4 9]

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: λ = 11, 2, 1.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver les valeurs propres de la matrice [2 0 0 ; 0 3 4 ; 0 4 9]

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.5 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver les valeurs propres de la matrice [2 0 0 ; 0 3 4 ; 0 4 9]
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[200034049]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9\end{bmatrix}
      Écrire l’équation caractéristique
    2. p(λ)=λ3−14λ2+35λ−22p(\lambda) = \lambda^{3} - 14\lambda^{2} + 35\lambda - 22
      Polynôme caractéristique
    3. λ=1, λ=2, λ=11\lambda = 1,\ \lambda = 2,\ \lambda = 11
      Racines rationnelles trouvées grâce au théorème des racines rationnelles
    4. [−9000−8404−2] v=0⇒v=⟨0,1,2⟩\begin{bmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 4 \\ 0 & 4 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, 1, 2 \rangle
      Vecteurs propres pour λ = 11 : résoudre (A − λI)v = 0
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. [000014047] v=0⇒v=⟨1,0,0⟩\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 7\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 0, 0 \rangle
      Vecteurs propres pour λ = 2 : résoudre (A − λI)v = 0
    2. [100024048] v=0⇒v=⟨0,−2,1⟩\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 8\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, -2, 1 \rangle
      Vecteurs propres pour λ = 1 : résoudre (A − λI)v = 0
  4. 4. La réponse
    λ=11, 2, 1\lambda = 11,\ 2,\ 1

    p(λ) roots: 11, 2, 1

  5. 5. Vérification
    • La somme des valeurs propres ≈ 14 est égale à la trace 14.
    • Le produit des valeurs propres est égal au déterminant 22.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver les valeurs propres de la matrice [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice 3 fois 3.

Étapes, partie 1. Écrire l’équation caractéristique. Polynôme caractéristique. Racines rationnelles trouvées grâce au théorème des racines rationnelles. Vecteurs propres pour λ égale 11: résoudre (A moins λI)v égale 0.

Étapes, partie 2. Vecteurs propres pour λ égale 2: résoudre (A moins λI)v égale 0. Vecteurs propres pour λ égale 1: résoudre (A moins λI)v égale 0.

La réponse. La réponse est donc λ égale 11, 2, 1. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Vecteurs propres: λ égale 11: ⟨0, 1, 2⟩; λ égale 2: ⟨1, 0, 0⟩; λ égale 1: ⟨0, moins 2, 1⟩.

Vérification. La somme des valeurs propres environ 14 est égale à la trace 14. Le produit des valeurs propres est égal au déterminant 22.

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