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Résoudre un problème
MatricesAlgèbre linéaireUniversité≈ 1:02

Trouver les valeurs propres de la matrice [5 4 ; 1 2]

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: λ = 6, 1.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver les valeurs propres de la matrice [5 4 ; 1 2]

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver les valeurs propres de la matrice [5 4 ; 1 2]
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[5412]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}5 & 4 \\ 1 & 2\end{bmatrix}
      Écrire l’équation caractéristique
    2. λ2−(7)λ+(6)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (6) = 0
      Pour une matrice 2×2, elle s’écrit λ² − (trace)λ + det
    3. p(λ)=λ2−7λ+6p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 6
      Polynôme caractéristique
    4. λ=1, λ=6\lambda = 1,\ \lambda = 6
      Racines rationnelles trouvées grâce au théorème des racines rationnelles
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. [−141−4] v=0⇒v=⟨4,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 4 \\ 1 & -4\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 4, 1 \rangle
      Vecteurs propres pour λ = 6 : résoudre (A − λI)v = 0
    2. [4411] v=0⇒v=⟨−1,1⟩\begin{bmatrix}4 & 4 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1 \rangle
      Vecteurs propres pour λ = 1 : résoudre (A − λI)v = 0
  4. 4. La réponse
    λ=6, 1\lambda = 6,\ 1

    p(λ) roots: 6, 1

  5. 5. Vérification
    • La somme des valeurs propres ≈ 7 est égale à la trace 7.
    • Le produit des valeurs propres est égal au déterminant 6.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver les valeurs propres de la matrice [5 4; 1 2]. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice 2 fois 2.

Étapes, partie 1. Écrire l’équation caractéristique. Pour une matrice 2 fois 2, elle s’écrit λ au carré moins (trace)λ plus det. Polynôme caractéristique. Racines rationnelles trouvées grâce au théorème des racines rationnelles.

Étapes, partie 2. Vecteurs propres pour λ égale 6: résoudre (A moins λI)v égale 0. Vecteurs propres pour λ égale 1: résoudre (A moins λI)v égale 0.

La réponse. La réponse est donc λ égale 6, 1. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Vecteurs propres: λ égale 6: ⟨4, 1⟩; λ égale 1: ⟨-1, 1⟩.

Vérification. La somme des valeurs propres environ 7 est égale à la trace 7. Le produit des valeurs propres est égal au déterminant 6.

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